【暑期特惠04】第13讲 空间向量与立体几何综合-【邦国教育】高考数学培优专题

第十三讲 空间向量与立体几何综合 A组 1、 选择题 1、已知 是非零向量，若向量 是平面 的一个法向量，则“ ”是“向量 所在的直线平行于平面 ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 答案：B 2、已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则k的值是（　　） A．1 B. C. D. 【解析】 D EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 与 互相垂直， 解得 ，故选D． 3、在空间直角坐标系 中，平面 的法向量为 , 已知 ，则P到平面 的距离等于 （　　） A． B. C. D. 【解析】B 因为向量 在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离，所以 4、如图，空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析： 如图所示，连结 ，则由 是 的中点 可得 ，又 ，故 二、填空题 5、若 , ,则 为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】 因为 ,所以 ,故所求的平行四边形的面积为 . 6、如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ） A．21 B．22 C．23 D．25[来源:学科网ZXXK] 【答案】B 【解析】在上取点，使得，则面，连结，则．在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，，故． 三、解答题 7．（2017年北京卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD= ，AB=4． （I）求证：M为PB的中点； （II）求二面角B-PD-A的大小； （III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解析】（I）设 交点为 ，连接 . 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 . 因为 是正方形，所以 为 的中点，所以 为 的中点. （II）取 的中点 ，连接 ， . 因为 ，所以 . 又因为平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 因为 是正方形，所以 . 如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ，即 . 令 ，则 ， .于是 . 平面 的法向量为 ，所以 . 由题知二面角 为锐角，所以它的大小为 . （III）由题意知 ， ， . 设直线 与平面 所成角为 ，则 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 8．如图，在四棱锥P—ABCD中， ， ，且四边形ABCD为菱形， ， . （1）求证： ； （2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。 【解析】（1）证：取AB边中点G，连接PG，DG，DB。 ∵ ∴ ………2分 又∵四边形ABCD为菱形且 ∴ 为等边三角形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ………5分 （2）又∵ ， ， 且 ∴ ∴以G为原点，GA，GD，GP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 ∴G(0，0，0), ， ， ∴ ， ∵ ，且 ， [来源:学*科*网] ∴ ∴ 为 的法向量，且 设 为 的法向量 令 ，则 ，且 ∴ ∴ 又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角，故所求二面角的平面角的余弦值为 。 9、如图，在斜三棱柱