专题3.2 立体几何中的向量方法（第一课时）-2019-2020学年新高考数学选修系列题型详解（人教版）

专题3.2 立体几何中的向量方法（第一课时） 题型一 平行 【例1】（2019·全国高三专题练习）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 【举一反三】 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点. 证明：PQ∥RS. 2．如图所示，正方体的棱长为，、分别为和上的点，． 证明：直线平面． 题型二 垂直 【例2】如图所示，、、两两互相垂直，四边形为矩形，、分别为、的中点.求证：. 【举一反三】 1．（2019·上海复旦附中高二期中）如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）若为棱上一点，满足，求线段的长. 2．（2019·黑龙江双鸭山一中高一期末（文））如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. （1）证明:； （2）求三棱锥的体积． 1．（2019·天津一中高三月考（文））如图，在四棱锥 中，底面为矩形，平面，二面角的平面角为，为中点，为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求实数的值，使得直线与平面所成角为． 2．（2019·江苏高二期中（理））如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点. （1）求证：平面； （2）若点为棱上一点，且平面平面， 求证： 3．（2019·安徽高二期末（文））如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 4．（2019·辽宁鞍山一中高考模拟（文））如图，正三棱柱中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，N是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的高． 5．（2018·内蒙古集宁一中高二月考（理））如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点． （1）求证：； （2）求证：平面. 6．（2018·江苏高二月考（理））如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． 求证：（1）共面； （2）求证：． 7．（2019·全国高三专题练习）如图正方形ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD. (1)求证：AE∥平面BCF； (2)求证：CF⊥平面AEF. 8．在如图所示的多面体中,平面===是的中点．求证:. 9．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，⊥底面，且，是的中点． （1）证明：直线平面； （2）证明：平面平面． 10．（2018·青海西宁四中高考模拟（理））如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，，，，E、F分别是AB、PC的中点． 求证：平面PAD； 求证：； 求EF与平面ABCD所成的角的大小． 11．（2018·黑龙江牡丹江一中高二期中（理））如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证： (1)； (2)∥平面。 13（2018·全国高二课时练习）如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点. 求证:（1）MN∥平面PAD;（2）平面QMN∥平面PAD. 14．（2018·全国高二课时练习） 如图，已知三棱锥P－ABC，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC． 15．（2018·全国高二课时练习）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC． 16．（2018·北京市十一学校高考模拟（文））四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,60°,,是中点,点在侧棱上. （1）求证:; （2）是否存在,使平面平面？若存在,求出,若不存在,说明理由. （3）是否存在,使平面？若存在,求出.若不存在,说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $$ 专题3.2 立体几何中的向量方法（第一课时） 题型一 平行 【例1】（2019·全国高三专题练习）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 【答案】详见解析 【解析】∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形， ∴AB，AP，AD两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1