专题01 三角函数中的化简求值-2020年高考数学二轮微专题突破（江苏）

专题01 三角函数中的化简求值 一、题型选讲 题型一 灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值 通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。 在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分． 例1、（2018年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 例2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b. (1) 求tan的值； (2) 求cos的值． 题型二 探究角度之间的关系 在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。 应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 例3、求值：． ． 例4、(2017苏锡常镇调研（一））已知sinα＝3sin，则tan＝________. 例5、(2019年江苏卷)已知，则的值是_____. 题型三、运用构造法化简与求值 通过构造方程或者转化为关于的一元二次函数来解决。 例6、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________． 例7、求函数的值域 二、达标训练 1、(2017苏州暑假测试） 已知α∈，β∈，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ＝________. 2、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________． 3、(2019镇江期末）若2cos2α＝sin，α∈，则sin2α＝________． 4、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为________． 5、(2016镇江期末） 由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为________． 6、(2017苏州期末） 若2tanα＝3tan，则tan＝________. 7、(2019苏州期初调查）已知cosα＝，α∈. (1) 求sin的值； (2) 若cos(α＋β)＝，β∈，求β的值． 2 / 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题01 三角函数中的化简求值 一、题型选讲 题型一 灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值 通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。 在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分． 例1、（2018年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 例2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b. (1) 求tan的值； (2) 求cos的值． 【解析】(1) 因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b. 所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分 因为α∈，所以α＋∈，(4分) 所以cos＝， 故sin＝＝ 所以tan＝.(6分) (2) 由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分) 因为α∈，所以2α＋∈， 所以sin＝.(10分) 所以cos＝cos] ＝coscos－sinsin(12分) ＝.(14分) 题型二 探究角度之间的关系 在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。 应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个