专题10.1 圆的方程（精讲精析篇）-2019-2020年新高考高中数学核心知识点全透视

专题10.1圆的方程（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 圆的方程 1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程 (1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． 3．圆的一般方程 (1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：. ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，； ③若，则方程不表示任何图形． 4.点与⊙C的位置关系 (1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔； (2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔； (3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔. 【典例1】（2018·天津高考真题（文））在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【典例2】（2013·江西高考真题（文））若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________. 【典例3】（2019·云南高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足 ＝2，则动点M的轨迹方程为（ ） A．（x﹣5）2+y2＝16 B．x2+（y﹣5）2＝9 C．（x+5）2+y2＝16 D．x2+（y+5）2＝9 【总结提升】 1.求圆的方程，主要有两种方法： (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 2.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将 代入 .本题就是利用方法④求 的轨迹方程的. 热门考点02 圆的方程综合应用 1. 圆的标准方程为： 2．圆的一般方程．：（）. 3.点到直线的距离：. 【典例4】（2016高考天津文）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________. 【典例5】（2019·天津南开中学高考模拟）已知直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的最大值为________. 【典例6】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程． 【总结提升】 注意应用圆的几何性质： 1 心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上． 热门考点03 直线与圆相切 1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； 2.圆的切线方程的两种求法 (1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. (2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. 【典例7】（2019·浙江高考真题）已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相切于点 ，则 _____， ______. 【典例8】（2015·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【总结提升】 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：几何法：圆心到直线的距离等于半径，即； (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．，方程组有一组不同的解. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法． 热门考点04 直线与圆相交及弦长 1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； 2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即； 3.代数法：，方程组有两组不同的解. 【典例9】（2018·全国高考真题（文））直线 与圆 交于 两点，则 ________． 【典例10】（2016·全国高考真题（理））已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________． 【典例11】（2019·江苏高三）已知圆O：x2