专题12.1 三角恒等变换（精讲精析篇）-2019-2020年新高考高中数学核心知识点全透视

专题12.1三角恒等变换（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. 变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)； . sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ， cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ， 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． sin(α＋φ)或f(α)＝ 【典例1】（2018·全国高考真题（理））已知 ， ，则 __________． 【典例2】（2018·全国高考真题（文））已知 ，则 __________． 【方法技巧】 1.三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． ，，1， 热门考点02 二倍（半）角公式的运用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝. 变形公式： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝ 配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 1±sinα＝，1－cosα＝2sin22,1＋cosα＝2cos2 【典例3】（2019·全国高考真题（理））已知a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A． B． C． D． 【典例4】（2019·河南高三（理））若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【总结提升】 1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用． 提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋ 热门考点03 三角函数恒等变换中“角、名、式”的变换 (1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，等． ＝2×，＝＋ (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 【典例5】（2019·上海市向明中学高一期中）已知 ， ，则 =______. 【典例6】（2019·宁夏银川一中高三）已知 ， ，则 ____． 【典例7】（2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满足，则的最大值为______. 【典例8】求证：. 【典例9】（2018·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ，求cosβ的值． 【总结提升】 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式． (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可