02 列举双曲线四类必考题型-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

■河南科技大学附属高级中学 张 辉 解析几何是高考的重点考查内容,而双 曲线又是解析几何的重要组成部分,从近几 年高考命题来看,双曲线的定义、标准方程、 几何性质一直是高考的热点,离心率和渐近 线问题是考查的重点,题目难度属于中低档, 多以选择填空形式出现,主要考查学生分析 问题、解决问题的能力,涉及数形结合思想和 转化思想的应用。下面我们主要分析双曲线 章节的经典题型和解题方法。 类型一 双曲线的定义与应用 例1 (2018年太原市模拟)已知双曲 线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为 F1,离心率为 5 2 ,P 是双曲线C 右支上的动 点,若点Q(c,2a)(c为半焦距),且|PF1|+ |PQ|的最小值为8,则双曲线C 的标准方程 是 。 解题思路:由双曲线定义结合|PF1|+ |PQ|的最小值为8,可得到a 的值,再根据 离心率得到c的值,进而根据c2=a2+b2,求 得b的值,从而求出双曲线的方程。 解析:设双曲线C 的右焦点为F2,因为e = c a= 5 2 ,所以a=2b。将x=c代入双曲线 C 的方程,得y=± b2 a=± b 2 ,所以点Q 在双 曲线右支的上方。 由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2| =2a,所以|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+ |PQ|。 当F2、P、Q 三点共线时,|PF2|+|PQ| 取得最小值,此时|F2Q|=2a,所以|PF1|+ |PQ|的最小值为4a。则4a=8,解得a=2。 已知双曲线C 的离心率为 5 2 ,则c= 5,双 曲线C 的标准方程是 x2 4-y 2=1。 评注:解决双曲线中有关最值问题,常见 方法就是依据双曲线的定义,再结合平面几 何知识求解,不仅直观易懂,而且简单易用。 类型二 双曲线的标准方程 例2 (2017年全国卷Ⅲ卷)已知双曲 线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线 方程为y= 5 2x ,且与椭圆x 2 12+ y2 3=1 有公 共焦点,则双曲线C 的方程为( )。 A. x2 8- y2 10=1 B. x2 4- y2 5=1 C. x2 5- y2 4=1 D. x2 4- y2 3=1 解题思路:根据双曲线的渐近线方程得 到a,b关系,根据公共焦点求出c,利用c2= a2+b2,求出a2,b2。 解析:根据双曲线C 的一条渐近线方程 为y= 5 2x ,可知b a= 5 2 。① 6 知识篇 知识结构与拓展 高二使用 2019年11月 因为椭圆 x2 12+ y2 3=1 的焦点坐标为(3, 0)和(-3,0),所以 a2+b2=9 。② 根据①②可知a2=4,b2=5,选B。 评注:求解双曲线的标准方程是学习双 曲线的基础,以上是求解双曲线标准方程的 一般方法,我们都是先确定焦点在x 轴上还 是在y 轴上,如果焦点位置不确定,可进行分 情况探讨。如果我们对椭圆、双曲线的几何 性质熟悉,也可用其他解法,简化计算过程。 类型三 双曲线的几何特征———渐近线 和离心率 1.直接法 例3 (2018年全国Ⅱ卷) 双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率为 3,则其渐近 线方程为( )。 A.y=± 2x B.y=± 3x C.y=± 2 2x D.y=± 3 2x 解题思路:知道离心率,可得到a,c的关 系,利用c2=a2+b2,求出a2 与b2 的关系,从 而求出渐近线方程。 解析:由题意知,e= c a= 3 ,则c= 3a, b= c2-a2= 2a, b a= 2 。 该双曲线的渐近线方程为y=± b ax= ± 2x,选A 。 评注:双曲线的渐近线与离心率有着密 切的联系,二者之间可以相互转化,并且都是 刻画双曲线开口大小的重要特征。 2.利用几何关系求离心率 例4 (2019年全国Ⅱ卷)设F 为双曲 线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x2+y2 =a2 交于P、Q 两点。若|PQ|=|OF|,则 双曲线C 的离心率为( )。 A.2 B.3 C.2 D.5 解题思路:首先求出以OF 为直径的圆 的方程,然后求得两圆公共弦所在的直线方 程,由勾股定理求得 PQ,从而由|PQ|= |OF|得到关于a、b、c的齐次方程,进而求得 双曲线的离心率。 解析:由题意知 x2+y2=a2,① x- c 2 2 +y2= c2 4 。② PQ 所在直线方程为x= a2 c ,代入①得y= a2- a4 c2 。|PQ|=2 a2- a4 c2 。再由|PQ| =|OF|,得