05 全国名校双曲线测试卷-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

全国名校双曲线测试卷答案与提示 一、选择题 1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.A 7.D 8.D 9.A 10.A 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 16.B 17.C 18.C 19.C 20.C 21.A 22.C 23.A 24.A 二、填空题 25. 4y2 25 - 4x2 39 =1 26. 83 3 27.22或2 28. x2 16 - y2 9 =1 29.2 3 30.(-12,0) 31.4 32. 5 4 , - 3 4 33.5 34.22 三、解答题 35.设 符 合 题 意 的 直 线 l 存 在,并 设 P(x1,x2),Q(x2,y2)。 则 x21- y21 2 =1,① x22- y22 2 =1。② 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ①-② 得:(x1-x2)· (x1+x2)= 1 2 (y1-y2)(y1+y2)。③ 因为 A(1,1)为 线 段 PQ 的 中 点,所 以 x1+x2=2,④ y1+y2=2。⑤ 将④、⑤代入③得: x1-x2= 1 2 (y1-y2)。 若x1≠x2,则直线l 的斜率k= y1-y2 x1-x2 =2,其方程为2x-y-1=0。 联立 y=2x-1, x2- y2 2 =1 得2x2-4x+3=0,根 据Δ=-8<0,说明所求直线不存在。 36.(1)因为离心率e= 2,所以 设 所 求 双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0)。 则由点(4,- 10)在 双 曲 线 上,知λ= 42-(- 10)2=6。 所以双曲线方程为x2-y2=6。 (2)若 点 M(3,m)在 双 曲 线 上,则32- m2=6,m2=3。 由双曲线x2-y2=6知: F1(-23,0),F2(23,0)。 所以 MF1 →·MF2→=(-23-3,-m)· (23-3,-m)=(-23-3)×(23-3)+ m2=-12+9+m2=0,MF1⊥MF2。 故点 M 在以F1F2 为直径的圆上。 37.(1)解法1,依题意知a2+b2=4。设 双曲线方程为 x2 a2 - y2 4-a2 =1(0<a2<4),将 点(3,7)代入上式,得 9 a2 - 7 4-a2 =1。解得 a2=18(舍去)或a2=2,所求双曲线的方程为 x2 2 - y2 2 =1。 解法2:依题 意 得,双 曲 线 的 半 焦 距c= 2。2a=|PF1|-|PF2|= (3+2)2+(7)2 - (3-2)2+(7)2=22,a2=2,b2=c2- a2=2。 双曲线C 的方程为 x2 2 - y2 2 =1。 (2)依题意知直线的斜率存在,可设直线 l的方程为y=kx+2。代入双曲线 C 的 方 程并整理得: (1-k2)x2-4kx-6=0。① 已知直线l与双曲线C 相交于不同的两 点 M、N,因此: 1-k2≠0, Δ=(-4k)2+4×6(1-k2)>0 ⇔ k≠±1, - 3<k< 3。 ② 故k∈(- 3,-1)∪(1,3)。 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 由①式 得 x1+x2= 4k 1-k2 ,x1x2= -6 1-k2 。 于是|MN|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (1+k2)(x1-x2)2 = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 = 1+k2· 22 3-k2 |1-k2| 。 34 演练篇 核心考点 AB卷答案 高二使用 2019年11月 原点O 到直线l的距离d= 2 1+k2 。 所 以 S△OMN = 1 2 d ·|MN|= 1 2 · 2 1+k2 · 1+k2 · 22 3-k2 |1-k2| = 22 3-k2 |1-k2| 。 若S△OMN =22,即 22 3-k2 |1-k2| =22⇔ k4-k2-2=0,解得k=± 2。满足②。 故满足条件的直线l 有两条,其 方 程 分 别为y= 2x+2和y=- 2x+2。 38.(1)设 P(x1,y1)是双曲线上任意一 点,该双曲线的两 条 渐 近 线 方 程 分 别 是 x- 2y=0和x+2y=0。 点 P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别 是 |x1-2y1| 5 和 |x1+2y1| 5 。 它们 的 乘 积 是 |x1-2y1| 5 · |x1+2y1| 5 = |x21-4y21| 5 = 4 5 。 点 P 到双曲线C 的两条渐近线的距 离 的乘积是一个常数。 (2)设 P 的坐标为(x,y),则|PA|2=(x -3)2+y2=(x-3)2+ x2 4 -1= 5 4 x- 12 5 2 + 4 5 。 因为|x|≥2,所 以 当 x= 12 5 时,|PA|2