08 含参一元二次不等式恒成立问题变式探究-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

含参一元二次不等式恒成立问题变式探究 ■河北省秦皇岛市第一中学 张守业 含参一元二次不等式恒成立问题,历来 是高考命题中的一个热点,这类试题在考查 题型上,通常以选择题或填空题的形式出现, 一般难度中等或偏大。那么我们该如何解答 这类问题呢? 【引例】若不等式(m-1)x2+(m-1)x +2>0的解集是R,则m 的范围是( )。 A.[1,9) B.(1,9) C.(-∞,1]∪(9,+∞) D.(-∞,1)∪(9,+∞) 解析:将原问题转化为不等式(m-1)· x2+(m-1)x+2>0在 R上恒成立,解题时 需注意对参数m 取值的分类讨论。 由题意得不等式(m-1)x2+(m-1)x +2>0在R上恒成立。 ①当m=1时,不等式为2>0,不等式恒 成立,符合题意。 ②当 m ≠1 时,由 不 等 式 恒 成 立 得 m-1>0, Δ=(m-1)2-8(m-1)<0, 解得1<m< 9。 综上可知 ,1≤m<9,所以实数 m 的范 围是[1,9),故选A。 点评:不等式ax2+bx+c>0的解是全 体实数(或恒成立)的条件是:(1)a=0时, b=0,c>0;(2)当a≠0时, a>0, Δ<0。 【变式1】当a∈[-1,1]时,不等式x2+ (a-4)x+4-2a>0恒成立,则x 的取值范 围为( )。 A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(1,3) 解析:令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4, 则不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立 转化为f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立。 则 f(-1)>0, f(1)>0 ⇒ -(x-2)+x2-4x+4>0, x-2+x2-4x+4>0。 整理得 x2-5x+6>0, x2-3x+2>0, 解得 x<1或 x>3。 所以实数x 的取值范围是(-∞,1)∪ (3,+∞),选A。 点评:本题的参数a 已知,要求自变量x 的取值范围,采用了改变主元的解题策略,把 原不等式看成关于a 的一元一次不等式,于 是通过构造关于a 的一次函数来解决问题, 这种解法也叫反客为主法。 【变式2】对于任意实数x,不等式(a-2)· x2-2(a-2)-4<0恒成立,则实数a 的取 值范围是( )。 A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2] D.(-2,2) 解析:当a-2=0,即a=2时,原不等式 变为-4<0,显然不等式恒成立,符合题意。 当a-2≠0,即a≠2时,因为对于任意 的实数x ,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4< 0恒成立,所以必须满足: a-2<0, Δ=[-2(a-2)]2-4(a-2)×(-4)<0。 解得 a<2, -2<a<2。 综上得,-2<a≤2,故选C。 点评:不等式的恒成立问题,应和函数的 图像联系起来。二次项系数含字母,应对二 次项系数是否为0,分情况讨论。当二次项 22 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2019年11月 系数不为0时,结合二次函数图像考虑,根据 题意图像应恒在x 轴的下方,故抛物线开口 向下且和x 轴没交点,即判别式小于0。综 合两种情况可得所求范围。 【变式3】设函数f(x)=ax2-2x+2,对 于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0, 则实数a的取值范围为( )。 A.a≥1 B. 1 2<a<1 C.a≥ 1 2 D.a> 1 2 解析:因为满足1<x<4的一切x 值, 都有f(x)=ax2-2x+2>0恒成立,可知a ≠0,所以a> 2(x-1) x2 =2 14- 1 x- 1 2 2 , 满足1<x<4的一切x 值恒成立。 因为 1 4< 1 x<1 ,所以2 14- 1 x- 1 2 2 ∈ 0, 1 2 ,实数a的取值范围是 12,+∞ 。 于是实数a 的取值范围为a> 1 2 ,故选 D。 点评:本题主要考查二次函数的最值以 及不等式恒成立问题,属于难题。不等式恒 成立问题常见方法:①分离参数,a≥f(x)恒 成立(a≥f(x)max 即可)或a≤f(x)恒成立 (a≤f(x)min 即 可);②数 形 结 合,f(x)> g(x)(y=f(x)图像在y=g(x)的上方即 可);③讨论最值f(x)min≥0或f(x)max≤0 恒成立;④讨论参数。本题就是利用方法 ① 求得a 的取值范围的。 【变式4】函数f(x)= 1 kx2+kx+1 的 定义域为R,则常数k的取值范围是 。 解析:因为函数的定义域为 R,所以不等 式kx2+kx+1>0恒成立。当k=0时,不 等式变为1>0,显然恒成立,所以k=0符合 题意;当