12 双曲线中的六类易错题型-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

双曲线中的六类易错题型 ■河南科技大学附属高级中学 曲少宁 双曲线是圆锥曲线的重要内容之一,也 是高考必考内容。从近几年高考情况来看, 双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高 考的热点,但由于学生对概念或公式理解模 糊,以及一些细节把握不准确,从而导致出现 不同类型的错误。所以同学们在解题时,要 密切注意一些易错点,下面就同学们解题中 易错的类型进行简要总结分析。 易错点一:对定义理解不透彻,忽视双曲 线定义中的限制条件 例1 已知两圆C1:(x+5)2+y2=9, C2:(x-5)2+y2=9,动圆C 与圆C1 外切, 且与圆C2 内切,求动圆圆心C 的轨迹方程。 错解:设圆 C 的半径为r,则由题意知 |CC1|=r+3,|CC2|=r-3,|CC1|-|CC2| =6,故圆心C 的轨迹是以C1,C2 为左右焦 点的双曲线。 2a=6,a=3,c=5,b2=c2-a2=16,所 以圆心C 的轨迹方程是 x2 9- y2 16=1 。 错解分析:忽视双曲线定义中是差的绝 对值,误以为所求的轨迹是整个双曲线。 正解:设圆 C 的半径为r,则由题意知 |CC1|=r+3,|CC2|=r-3,|CC1|-|CC2| =6,故圆心C 的轨迹是以C1,C2 为左右焦 点的双曲线的右支。 2a=6,a=3,c=5,b2= c2-a2=16,所以圆心C 的轨迹方程是 x2 9- y2 16=1 ( x≥3)。 变式 已知A(-3,0),B(3,0)。 (1)若|PA|-|PB|=6,则P 点的轨迹 ; (2)若|PA|-|PB|=8,则P 点的轨迹 ; (3)若|PA|-|PB|=4,则P 点的轨迹 。 解析:(1)|PA|-|PB|=|AB|,由平面 几何知识可知,P 点的轨迹是以B 为端点的 一条射线,点P 的轨迹方程为y=0(x≥3)。 (2)|PA|-|PB|>|AB|,与三角形两 边之差小于第三边相矛盾,故轨迹不存在。 (3)因为|PA|-|PB|<|AB|,所以P 点的轨迹是双曲线的右支,其中A、B 为左、 右焦点, 2a=4,a=2,c=3,故 P 点轨迹方 程为 x2 4- y2 5=1 (x≥2)。 例2 已知P 是双曲线x 2 64- y2 36=1 上 一点,F1、F2 是 双 曲 线 的 左、右 焦 点,且 |PF1|=17,求|PF2|的值。 错解:由双曲线的定义可知,||PF1|- |PF2||=2a=16。因为|PF1|=17,所以 |PF2|=1或|PF2|=33。 错解分析:忽视了双曲线上点的隐含条 件。由|PF1|=17,可以确定点P 在左支上, 解得|PF2|=33。 正解:由双曲线的定义可知, 若P 在右 支上,则|PF1|≥a+c=18。而已知|PF1| =17,故P 在左支上。则|PF2|-|PF1|= 2a=16,|PF2|=33。 易错点二:忽视焦点的位置 例3 求与双曲线x 2 2-y 2=1有公共渐 近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程。 错解:双曲线x 2 2-y 2=1的渐近线方程 为y=± 2 2x ,故所求双曲线的渐近线方程 也为y=± 2 2x 。设所求双曲线方程为x 2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0),又 b a= 2 2 ,且 M(2,-2) 在双曲线上,则 4 2b2 - 4 b2 =1,b2=-2,故不存 在这样的双曲线。 错解分析:双曲线的焦点位置不确定,焦 点可能在x 轴上,也可能在y 轴上。 正解:(解法一)双曲线x 2 2-y 2=1的渐 23 解题篇 易错题归类剖析 高二使用 2019年11月 近线方程为y=± 2 2x ,故所求双曲线的渐 近线方程也为y=± 2 2x 。若所求双曲线的 焦点在x 轴,设所求双曲线方程为 x2 a2 -y 2 b2 = 1(a>0,b>0),又 b a= 2 2 ,且 M(2,-2)在双 曲线上,则 4 2b2 - 4 b2 =1,b2=-2,焦点在x 轴 上不成立。若所求双曲线的焦点在y 轴上, 设方程为y 2 a2 - x2 b2 =1(a>0,b>0),则 a b= 2 2 。且过 M(2,-2),解得a2=2,b2=4。所 求双曲线方程为y 2 2- x2 4=1 。 (解法二)设所求双曲线方程为x 2 2-y 2= t(t≠0),且过 M(2,-2),代入解得t=-2, 故y 2 2- x2 4=1 。 小结:与x 2 a2 -y 2 b2 =1有公共渐近线的双 曲线系可以设为 x2 a2 -y 2 b2 =t(t≠0)。 例4 若方程 x 2 3+2m- y2 2+2m=1 表示 双曲线,求m 的取值范围。 错解:因为 x 2