专题01 数列-2020年高考理科数学总复习热点题型归类训练

2020年高考理科数学总复习《热点题型归类训练》 专题01数列 题型一 等差、等比数列的基本运算 等差、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q； (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列； (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．　 例1.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5　　　　　　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 【举一反三】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________． 例2.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16　　　　　　　　　　 B．8 C．4 D．2 【举一反三】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，＝，则数列{an}的公比q为(　　) A．4　　　　　　　　　 B．2 C． D． 题型二 等差(比)数列的性质 等差、等比数列性质问题的求解策略 抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 用性质 数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题 例3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝(　　) A．2 B． C．3 D．4 例4.等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝(　　) A．32 B．31 C．64 D．63 【举一反三】1.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33＝(　　) A．82 B．97 C．100 D．115 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 题型三 等差(比)数列的判定与证明 判断(证明)等差(比)数列应注意的问题 (1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列． (2)证明数列{an}为等比数列时，不能仅仅证明an＋1＝qan，还要说明a1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后判定数列{an}为等比数列．　 例5.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)． (1)证明：数列{an＋1}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？ 【举一反三】已知数列{an}满足an＋1－3an＝3n(n∈N*)且a1＝1. (1)设bn＝，证明数列{bn}为等差数列； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn. 题型四 数列与新定义相交汇问题 数列新定义型创新题的一般解题思路 (1)阅读审清“新定义”． (2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识． (3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论．　 例6.对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________． 【举一反三】(2019·福建五校第二次联考)在数列{an}中，a1＝，＝，n∈N＋，且bn＝.记Pn＝b1×b2×…×bn，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，则3n＋1Pn＋Sn＝________． 题型五　an与Sn关系的应用 解题思路 (1)给出Sn与an的递推关系求an的常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. (2)形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列．　 例7.记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________． 【举一反三】1.(2019·武昌区调研考试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(　　) A．40　　　　　　　　　 B．44 C．45 D．49 2.(2019·武汉市调研测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2