解密06 定积分与微积分基本定理-备战2020年高考数学(理)之高频考点解密

解密06 定积分与微积分基本定理 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 定积分的计算 高考中对定积分的考查频率不是很高，主要是考查定积分的概念和几何性质，以及利用微积分定理计算定积分、使用定积分求曲边梯形的面积，并能解决一些简单的物理问题等．在解题时要熟练运用微积分定理及定积分的相关运算性质求解，必要时运用数形结合的思想求解． 2015湖南 11 2015山东 13 ★ 定积分的应用 2015天津11 2015福建 13 2015陕西 16 ★ 考点1 定积分的计算 题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 调研1 A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以．故选C． 【名师点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数或者利用其几何意义，属于基础题．先求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 调研2 已知，若，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，解得．故选C． 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力．直接利用微积分基本原理化简即得a的值． 调研3 若函数，则______________． 【答案】 【解析】，则． 【名师点睛】本题主要考查微积分基本定理求函数的定积分，意在考查对基本定理的掌握与应用，属于简单题． 调研4 已知函数，则______________． 【答案】 【解析】． ☆技巧点拨☆ 1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤 （1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值． 2．分段函数的定积分 分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研5 计算______________． 【答案】0 【解析】因为为奇函数， 所以． 调研6 已知函数为偶函数，且，则______________． 【答案】 【解析】因为函数为偶函数， 所以． 调研7 ______________． 【答案】 【解析】由题可得， 根据定积分的几何意义可得，， 所以． 调研8 已知函数，则______________． 【答案】 【解析】， ， 的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的， 故． ☆技巧点拨☆ 1．求定积分的三种方法 （1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分； （3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分的几何意义是求单位圆面积的，所以． 2．奇偶函数的定积分 （1）若奇函数y=f(x)的图象在[−a，a]上连续，则； （2）若偶函数y=g(x)的图象在[−a，a]上连续，则． 考点2 定积分的应用 题组一 利用定积分求平面图形的面积 调研1 如图，抛物线的方程为，则图中阴影部分的面积可表示为 A． B．|| C． D． 【答案】C 【解析】由图形可知阴影部分的面积为， 而，故选C． 调研2 如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，， ，豆子落在图中阴影部分的概率为． 故选A． 【名师点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键．分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率． 调研3 求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积错误的为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线，直线及轴所围成的图形如下图中阴影部分所示： 则阴影部分的面积可表示为，可知A正确； 根据对称性可知， 所以阴影部分的面积可表示为，可知B正确； 同理，根据对称性可知，阴影部分的面积可表示为，可知D正确； 故选C． 调研4 若从区间内随机取两个数，则这两个数之积大于的概率为______________． 【答案】 【解析】设这两个数为，则，且， 令，则，则可作出如下图所示图象， 要使，则必须在曲线的上方， 则阴影部分的面积为， 则所求概率． ☆技巧点拨☆ 利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确