解密08 三角恒等变换-备战2020年高考数学(理)之高频考点解密

解密08 三角恒等变换 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合． 2019课标全国Ⅱ10 2018课标全国Ⅱ15 2018课标全国Ⅲ4 2016课标全国Ⅱ9 ★★★ 三角恒等变换的综合应用 2019课标全国Ⅰ17 2017课标全国Ⅰ17 2016课标全国Ⅱ13 2016课标全国Ⅰ17 ★★★★★ 考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1 若，且，则的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，根据诱导公式得， 又，所以，所以， 所以， 故选A． 调研2 若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得 ， 即，所以， 故选C． 调研3 已知，若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 上式两边同时平方可得，所以， 因为，所以，所以， 所以， 故选C． 调研4 已知，且，则 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，， ∴， ∴，∴或， 即或，∵，∴或． 故选D． 【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据α的范围求出的范围，确定出，，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出． ☆技巧点拨☆ 三角恒等变换的“四大策略”： （1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； （2）项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； （3）降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值 调研5 若且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，即， 即，即，即， 所以，当时，， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选A． 【名师点睛】本题考查切化弦公式，两角和的正余弦公式，充分不必要条件的概念，已知三角函数值求角，属于中档题． 根据切化弦公式，两角和的正余弦公式将原等式化成：，这便可求出，这样便会得到是充分不必要条件． 调研6 若，，则______________． 【答案】 【解析】． 调研7 若，则的值为______________． 【答案】 【解析】由已知有，即，为第三或第四象限的角． 当为第三象限的角时，，则； 当为第四象限的角时，，则， ． 调研8 已知，． （）求的值． （）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【思路点拨】（1）利用两角和的正切公式可得结果；（2）根据角的范围，由正切求出，，再利用二倍角公式即可得结果． 【解析】（）∵， 所以． （）由，，得，， 所以． ☆技巧点拨☆ 公式的常见变形： （1）；． （2）降幂公式：；；． （3）升幂公式：；；；． （4）辅助角公式：，其中， ． 考点2 三角恒等变换的综合应用 题组一 与三角函数的图象及性质相结合 调研1 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， 所以， 因为函数的图象关于轴对称，所以，即， 又，所以的最小值是． 故选A． 调研2 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的最小值为______________． 【答案】 【解析】由题意得 ∴====． ，∴， ∴当时，． 调研3 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为． 【思路分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）当时，，由正弦函数的单调性可得，从而可得结果． 【解析】（1）函数 ． 令，解得， ∴的单调递增区间为． （2）当时，，∴， ∴在区间上的最大值为2，最小值为． 且时取得最大值2，时取得最小值． 【名师点睛】本题主要考查辅助角公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题． 函数（）的单调区间的求法：把看作是一个整体，由求得函数的减区