第二章 第6节 二次函数与幂函数（课件+作业）-2020高考理科数学【创新教程】大一轮高考总复习（人教版）

第6节　二次函数与幂函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如　y＝xα　的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R 　[0，＋∞)　 {x|x≠0} 值域 R 　[0，＋∞)　 R [0，＋∞) 　{y|y≠0}　 奇偶性 　奇　 偶 　奇　 非奇非偶 奇 单调性 在R上单调递增 　在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增　 　在R上单调递增　 　在[0，＋∞)上单调递增　 　在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减　 公共点 　(1,1)　 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 　　 　　 单调性 在上单调递减； 在　　上单调递增 在　　上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 (3)二次函数的零点的分布问题 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)两个零点为x1，x2的分布情况如下表 (只讨论a>0的情况，a<0时可变形为a>0的情况)： 根的分布(m<n<p<s为常数) 图象 满足的条件 x1<x2<m m<x1<x2 x1<m<x2 f(m)<0 m<x1<x2<n m<x1<n<x2<p 只有一根在(m，n)之间 或f(m)·f(n)<0或f(x)＝0(m为f(x)＝0的一根，而另一根，应不在(m，n)之间，同理f(n)＝0时，另一根应不在(m，n)之间 m<x1<n p<x2<s 　一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 [思考辨析][来源:学.科.网] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　) (5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．(2019·济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　 ) A.　　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 解析：C　[由幂函数的定义知k＝1.又f.]，从而k＋α＝，解得α＝α＝，所以＝ 2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　 ) A．①y＝x，④y＝x－1，②y＝x2，③y＝x B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，③y＝x2，④y＝x－1，②y＝x 解析：B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.] 3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　 ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 解析：A　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－＝1，即m＝－2.]，且只有一条对称轴，所以－ 4．二次函数的图象与x轴只有一个公共点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为　__________　. 答案：y＝x2－2x＋3 5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为　________　. 解析：由，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合． 答案：1或2 考点一　幂函数的图象与性质(自主练透) [题组集训] 1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　 ) 解析：C　[令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝.]，∴f(x)＝x A．b<a<c　　　　　　　　 B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象