第二章 第14节 定积分概念及简单应用（课件+作业）-2020高考理科数学【创新教程】大一轮高考总复习（人教版）

(理科)第14节　定积分概念及简单应用 1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 在f(x)dx中，　a，b　分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数　f(x)　叫做被积函数，　x　叫做积分变量，　f(x)dx　叫做被积式． (2)定积分的几何意义 f(x) f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的　曲边梯形　的面积 f(x)<0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的　相反数　 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积　减去　位于x轴下方的曲边梯形的面积 2.定积分的性质 (1)f(x)dx(k为常数)； kf(x)dx＝k (2)f2(x)dx； f1(x)dx±[f1(x)±f2(x)]dx＝ (3)f(x)dx(其中a<c<b)． f(x)dx＋f(x)dx＝ 3．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(x)，即f(x)dx＝　F(b)－F(a)　.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x) ＝　F(b)－F(a)　. 1.定积分与曲边梯形的面积的关系：如图，设阴影部分面积为S，则 (1)S＝f(x)dx； (2)S＝－f(x)dx； (3)S＝f(x)dx； f(x)dx－ (4)S＝[f(x)－g(x)]dx.g(x)dx＝f(x)dx－ 2．变速直线运动问题 如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)dt.v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－ 3．变力做功问题 物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F(x)dx. [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(t)dt.(　　) f(x)dx＝ (2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　) (3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　) (4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx.(　　) f(x)dx＝2 (5)微积分基本定理中F(x)是唯一的．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×[来源:Z&xx&k.Com] [小题查验] 1．下列值等于1的是(　　 ) A.(x＋1)dxxdx　　　　　　　　 B. C.dx1dx D. 解析：C　[＝1.] 1dx＝x| 2．已知t>1，若(2x＋1)dx＝t2，则t＝(　　 ) A．1 B．e－1 C．2 D．e＋1 解析：C　[＝t2＋t－2，从而得方程t2＋t－2＝t2，解得t＝2.] (2x＋1)dx＝(x2＋x) 3．(2019·泉州市模拟)求由抛物线y＝2x2与直线x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，将区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个区间为(　　 ) A. B. C. D. 解析：D　将区间[0,2]等分成n个小区间，则每个区间长度为， 则分点分别为x0＝0，x1＝0＋，…，xn＝2， 则第i个区间为. 4．[教材改编]汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是　________　 m. 解析：s＝(3t＋2)dt＝ ＝(m)． ＝＝10－×4＋4－ 答案： 5．(2015·天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为　________　. 解析：由或得 ∴所求面积为S＝.＝－＝(x－x2)dx＝ 答案：[来源:学+科+网] 考点一　定积分的计算(自主练透) [题组集训] 1．计算2dx＝　________　. 解析：2dx ＝(x＋cos x)′dx(1－sin x)dx＝ 答案：－1 2．计算|x2－1|dx＝　________　. 解析：|x2－1|dx ＝(x2－1)dx(1－x2)dx＋ ＝＝ ＋.＝ 答案： 3．计算dx＝　______　. 解析：根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线y＝.dx＝，故和直线x＝－1，x＝1所围成图形的面积，显然是半个单位圆，其面积是 答案： 4．若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是　________　. 解析：由dx＝[来源:学科网] (x2＋ln x) 得解得a＝2. 答案：2 (1)定积分的计算