专题10 命题与证明（知识点串讲）-2019-2020学年八年级数学上册期末考点大串讲（沪科版）

专题10 命题与证明 知识框架 重难突破 一、命题 1、 命题的概念 叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命。如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是沪科版的”等。 备注：（1）命题必须是一个完整的句子。 （2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。 2、 命题的结构 每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 3、真命题与假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。 备注：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。 4、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。 备注：一个命题为真 不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。 例1．（2019·安徽初一期中）把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是______ 练习1．（2019·淮南实验中学初一期中）将命题“内错角相等”，写成“如果……，那么……”的形式：________________________________. 例2．（2019·阜阳市第九中学初一期中）命题“如果x2=y2”,那么“x=y”是______命題(填“真”成“假”）. 练习1．（2019·蚌埠铁路中学初二期中）下列命题是真命题的是（ ） A.若|a|=|b|，则a=b B.若ab＞0，则a、b都是正数 C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 D.若a2=9，则a=3 例3．（2018·广西初一期中）要说明命题“若m＞n，则m2＞n2”是假命题，下列m，n的值不能作为反例的是( ) A． ， B． ， C． ， D． ， 练习1．（2018·颍上县第五中学初二期中）将下列命题改写成“如果...那么...”形式，并判断命题的真假，若是假命题请举反例。 （1）相等角是对顶角. （2）直角三角形的两个锐角互余. 例4．（2019·中国科技大学附属中学初二期中）下列定理的逆命题为假命题的是(    ) A.两直线平行，内错角相等 B.直角三角形的两锐角互余 C.若 ，则 D.对顶角相等 练习1．（2019·合肥市第四十二中学初二期中）“邻补角的角的平分线互相垂直”的逆命题是：_____，它是_____命题． 练习2．（2019·安徽省安庆九一六学校初二期中）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 二、证明 1、证明的概念：从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。 2、证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为： 1）按题意画出图形； 2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 3）在“证明”中写出推理过程） 　　备注：(1)①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题： 　　②公理可以作为判定其他命题真假的根据. 　　(2)定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的. 　　(3)在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法. 只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的. 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等. 　　(4)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. ①论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由. 3、反证法 反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是