2019年江苏省高中数学青年教师优质课大赛研讨课《弧度制》（常熟外国语学校陈志江） (共2份打包)

江苏省常州中学 2019.10.25 弧度制 常熟外国语学校 陈志江 教学目标： （1）理解1弧度角的概念，能正确地进行弧度与角度的换算； （2）从规律的发现到弧度制的引入，培养学生的探究问题、解决问题的能力； （3）通过弧度制的史料学习，了解弧度制引入的意义，激发学生数学学习的兴趣． 教学难点：弧度的引入、1弧度角的含义 教学过程： 一、角度制 一点出发的两条射线形成的图形叫做角。 问题：如何来度量角的大小？ 约在公元前2000年，古巴比伦人创设性地将圆周 划分为360度，每度分为60分，每分再划分为60秒。 规定：周角的 为1度的角。 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制（degree measure）。 我们现在常用量角器来度量角。 问题探究 如图，为一个扇形花坛，你有办法通过测量 得到ABCD区域的面积吗？（工具：皮尺） 分析： 半径为 ，圆心角为 的扇形， 面积： ； 弧长： 所以， 发现： 与 之间是正比例的关系，所以比值 随圆心角 的确定而确定，反之也成立。即， 与 之间是一种一一对应关系。而与位置无关。 启发：可以利用比值 来度量圆心角，把这个比值叫做弧度（radian）。并且规定比值 为1是1弧度。 二、弧度制 规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。记作1rad。 弧长 ，圆心角为2rad； 弧长 ，圆心角为3rad； 弧长 ，圆心角为2 rad； …… 问题：是否可以度量任意角？请议一议。 在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心 角为 rad，则 其中， 的正负由旋转方向决定，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于 或小于 的角。这样就可以得到弧度为任意大小的角。 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数 是一个负数，零角的弧度数是0。 这样，角的集合与实数集R之间建立起一个一一对应的 关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来， 每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制（radian measure）。 三、角度与弧度的换算 寻找等量关系 对周角度量： = rad 所以 = rad 那么 = rad rad ； rad= EMBED Equation.DSMT4 你能写出图中角的弧度数吗？——感受弧度 例1 把下列各角从度化到弧度，或从弧度化到度： （1） rad； （2）3.5rad； （3） ； （4） . 解：（1） rad= EMBED Equation.DSMT4 rad= EMBED Equation.DSMT4 = ； （2）3.5rad=3.5 EMBED Equation.DSMT4 ； （3） = = rad= rad ； （4） = = = rad= rad . 回到问题 弧度制下的弧长与扇形面积公式（圆心角大小为 弧度） （1） —— 弧长公式 （2） 若 ，则 —— 扇形面积公式 问题解决： = = 所以只要量得。。。 体会：引入弧度制能简化公式，简化计算。 四、为什么要引入弧度制 弧度制的意义： “通” （1）使单位制统一。在古巴比伦以及古希腊时期，数学家在研究天文学问题时，普遍习惯使用60进制对角进行度量，为了进位制的统一，也用60进制度量弦长和弧长。此时，角度制满足了这种需求。而随着历史的发展，10进制取代了60进制成为了度量长度的主要进位制。为了保持进位制的统一，自然地也将角的进位制换成10进制。弧度制满足了这一需求，而且可以与角度制进行一一对应的换算，与原有数学系统相容。这样，便于数与数之间的对比，提高了解决问题的效率。 “简” （2）简化微积分创立后公式的计算。弧度制大约直到18世纪才被提出来，它的提出是受到微积分等近代数学发展的推动的。在弧度制下，与三角函数有关的一些公式在形式上均比角度制下有很大的简化。 例如： 角度制下，正弦函数的导数公式为 ；泰勒展开式为 。 弧度制下，正弦函数的导数公式为 ； 泰勒展开式为 。 正是因为这样的优越性，弧度制才逐渐被数学界普遍接受和广泛使用。 参阅文献： 1. 李忠（北京大学数学科学学院）.为什么要使用弧度制[J].数学通报，2009,48,11:1-7 2. 江灼豪 何小亚（华南师范大学数学科学学院）.弧度制发展的历史溯源[J].数学通报，2016,55,7:14-17 4 $$ 苏教版数学4（必修） 执教： 陈志江 1.1.2