专题1.3.1 函数的单调性与导数-学易试题君之同步课堂帮帮帮2019-2020学年高二数学（理）人教版（选修2-2）

1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 一、函数的单调性与其导数的关系 在某个区间内，如果______________，那么函数在这个区间内单调递增；如果______________，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 二、函数图象与之间的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较______________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些． 一、 二、大 帮—重点 利用导数判断函数的单调性 帮—难点 导数在解决单调性问题中的应用 帮—易错 （1）由函数的单调性确定参数的取值范围时，不要忽略的情况； （2）求函数的单调区间时，一定要在定义域范围内求解 1．利用导数判断函数的单调性 （1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下： ①求导数； ②判断的符号； ③给出单调性结论． （2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点． （3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接． （1）【2017年高考山东卷】若函数(e=2.71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是 A． B． C． D． （2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______________． 【答案】（1）A；（2）． 【解析】（1）对于A，令，， 则在R上单调递增，故具有M性质，故选A． （2）由题意可知，令，解得或， 因为函数在区间上为增函数，所以， 故实数的取值范围为． 求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【解析】（1）由题意得． 令，解得或． 当时，函数为增函数；