2019-2020学年北师大版高中数学选修1-2（课件+课后巩固提升）第3章 推理与证明 (共12份打包)

[A组　基础巩固] 1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　) A．f(x)　　　　　　　　　 B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)． 答案：D 2．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于(　　) A．2n B.n(n＋1) C．2n－1 D．2n－1 解析：a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….猜想当n≥1时，an＝2n－1. 答案：C 3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)． 试求第七个三角形数是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B. 答案：B 4．数列5,9,17,33，x，…中的x等于(　　) A．47 B．65 C．63 D．128 解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1， 归纳可得：x＝26＋1＝65. 答案：B 5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如： 他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 解析：由图形可得三角形数构成的数列通项an＝＝1 225，满足题意，故选C.＝(n＋1)＝289＝17×17，知n∉N，所以排除A，而1 225＝352＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，若a既是三角形数又是正方形数，则a＋1为偶数，a为奇数，故排除B、D；由 答案：C 6．f(n)＝1＋，推测当n≥2时，有________． ，f(16)>3，f(32)>，f(4)>2，f(8)>(n∈N＋)，计算得f(2)＝＋…＋＋ 解析：f(4)＝f(22)>， f(8)＝f(23)>， f(16)＝f(24)>， f(32)＝f(25)>. 答案：f(2n)> 7．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此规律，第五个等式应为________． 解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 8．观察下列不等式： 1＋， < 1＋， <＋ 1＋， <＋＋ …… 照此规律，第五个不等式为________． 解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列． ∴第五个不等式为1＋.<＋＋＋＋ 答案：1＋<＋＋＋＋ 9．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？ 我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，… 这就是斐波那契数列， 此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，归纳出an与an－1间的递推关系式． 解析：因为2＝1＋1,3＝1＋2；5＝2＋3,8＝3＋5，…，逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)． 10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明． ；sin25°＋sin2 65°＋sin2125°＝ 解析：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝. 证明：左边＝ ＋＋ ＝[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2α·cos 240°－sin 2αsin 240°]－ ＝＝右边sin 2α]＝