专题8.1 空间中点线面的位置关系（精讲精析篇）-2019-2020年新高考高中数学核心知识点全透视

专题8.1空间中点线面的位置关系（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 平面的基本性质及应用 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【典例1】（2019·上海高三）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【典例2】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【方法技巧】 1.证明点共线问题的常用方法 公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上 同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 2.证明线共点问题的方法 证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点． 3.证明点、直线共面问题的常用方法 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. 热门考点02 空间两直线的位置关系 直线与直线的位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【典例3】（2015·广东高考真题（文））若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内，l是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ） A. 与 ， 都相交 B. 与 ， 都不相交 C. 至少与 ， 中的一条相交 D. 至多与 ， 中的一条相交 【典例4】（2018届山西省太原市三模】如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【总结提升】 判断空间两直线位置关系的思路方法 (1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断． (2)异面直线的判定方法 ①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面． ②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． 热门考点03 异面直线所成的角 异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：. 异面直线的判定方法： 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 【典例5】（全国高考真题（文））已知正方体 中，E为 的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 . 【典例6】（2019·安徽高三月考（理））在长方体 中， ， ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【总结提升】 1.用平移法求异面直线所成的角的步骤 一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证：即证明作出的角是异面直线所成的角 三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 *2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角 根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a，b，则两异面直线所成角θ满足cosθ＝ . 热门考点04 与线、面平行相关命题的判定 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，