专题11.1 三角函数（精讲精析篇）-2019-2020年新高考高中数学核心知识点全透视

专题11.1三角函数（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 象限角及终边相同的角 （1）任意角、角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． 【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为　　 A． B． C． D． 【典例2】若是第三象限的角, 则是 （ ） A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角 【方法技巧】 象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 热门考点02 弧度制、扇形的弧长及面积公式 （1）弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． （2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． （3）弧度制下l＝|α|·r，S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．，扇形面积S＝lr，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l＝ 【典例3】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，） A．15 B．16 C．17 D．18 【典例4】已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【总结提升】 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 热门考点03 三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义： 设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 2． 三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 【典例5】（2008·全国高考真题（文））若，且，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【典例6】已知角的终边在射线上，则等于（ ） A. B. C. D. 【典例7】（江西高考真题（文））已知角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若 是角 终边上一点，且 ，则y=_______. 【典例8】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　) 【总结提升】 1.已知角 终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解． 2.已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角 的三角函数值． 热门考点04 单位圆、三角函数线的应用 3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线 有向线段MP为正弦