北师大版九年级上册数学教案：2.5一元二次方程的根与系数的关系 (2份打包)

*2.5　一元二次方程的根与系数的关系 1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[来源:Zxxk.Com] [来源:Z|xx|k.Com] 一、情景导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？ (1)x2－2x＝0； (2)x2＋3x－4＝0； (3)x2－5x＋6＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 [来源:Zxxk.Com] [来源:学科网] 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积． 解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得． 解：这里a＝3，b＝6，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2， 那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－. 方法总结：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－. ，x1x2＝ 探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x1＋2)(x2＋2)；　　(2). ＋ 解析：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可． 解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－. (1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－； ＋2×(－2)＋4＝－ (2). ＝－＝＝＝＋ 方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可． 【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值． 解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值． 解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－， ∴x1＝－， .又∵x1＋2＝－ ∴－，∴k＝－7. ＋2＝－ 方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和． 【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用 已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝－1，求m的值． ＋ 解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由＝－1建立方程，求解m的值． ＋ 解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根， ∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2. 又∵＝－1， ＝＝＋ 化简整理，得m2－2m－3＝0. 解得m＝3或m＝－1. 当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0， 此时Δ＝12－4＜0，方程无解， ∴m＝－1应舍去． 当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0， 此时Δ＝92－4×9＞0， 方程有两个不相等的实数根． 综上所述，m＝3. 易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略． 三、板书设计 [来源:学科网ZXXK] 让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考 的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神. $$ 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。 2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。 【学习重点】观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系 【学习难点】对根与系数这一性质进行应用。 【课标要求】能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理 【提出问题】 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？ （1）x2－2x＝0；[来源:Z。xx。k.Com][来源:Z+xx+k.Com][来源:Zxxk.Com] （2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0