专题65 直线与圆锥曲线的位置关系-2020年江苏省高考数学考点探究

专题65　直线与圆锥曲线的位置关系 专题知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线_________； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线_________； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线_________． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_________； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_________． 2．解决圆锥曲线问题的思路与方法 (1)求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a，b，c或p，基本方法是利用定义或利用待定系数法求解． (2)直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线与圆锥曲线方程的公共解问题，体现了方程的思想，数形结合、分类讨论、等价转化等也是解决圆锥曲线位置关系以及有关综合问题的常用思想方法． 3．弦长问题 求直线与圆锥曲线相交所得的弦长公式：设两个交点为，则弦长． 考点探究 考向1　直线与圆锥曲线的位置关系 【例】　（2019徐州高三期中）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程． x y O B N M P Q D 题组训练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A(－2，0)，离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程． 考向2　圆锥曲线中的最值、范围问题 【例】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N. (ⅰ)当直线的PA斜率为时，求△FMN的外接圆的方程； (ⅱ)设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值． 题组训练 1.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)过点P(1，)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且·＝0. (1)求椭圆的方程； (2)求MN的最小值； (3)以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论． 2.（2019·如皋中学高三期中）已知椭圆：（）的离心率为，椭圆与轴交于两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧，直线与直线交于两点，若以为直径的圆与轴交于，求点横坐标的取值范围及的最大值． 考点3　中点弦问题 【例】　过点P(－1，1)作直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求直线AB所在直线的方程． 题组训练 1.椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程． 考点4　探索性问题 【例】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且椭圆C过点P，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由． 题组训练 1.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l：x－my－1＝0(m∈R)过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点D(，0)，连接BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由． 2.已知⊙和点M(4，2)． (1) 求以点M为圆心，且被直线y=2x—1截得的弦长为4的⊙M的方程； (2) 设P为(1)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 专题65　直线与圆锥曲线的位置关系 专题知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联