人教B版高中数学必修1教学案：2.1.4函数的奇偶性

2.1.4　函数的奇偶性(一) 【学习要求】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤． 【学法指导】 通过学习函数奇偶性概念的形成过程，加深对函数的奇偶性概念的理解；通过从代数的角度给予函数奇偶性严密的代数形式表达，培养严谨、认真、科学的探究精神，并渗透数形结合的数学思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.奇函数的定义：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x) ，则这个函数叫做奇函数． 2.奇函数的性质：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 3.偶函数的定义：设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 g(－x)＝g(x) ，则这个函数叫做偶函数． 4.偶函数的性质：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y轴 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴 对称，则这个函数为偶函数. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]　美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美. 这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习． 探究点一　奇函数的概念 问题1　观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ 问题2　求当x分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝x的值，及当x分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝的函数值，从中你能发现什么规律吗？ 问题3　你能把问题2中的由具体的函数值得出的规律扩展到一般形式吗？ 问题4　平面直角坐标系中，点P(x，f(x))关于原点对称的点的坐标是什么？ 问题5　若点P(x，f(x))是奇函数y＝f(x)的图象上的一点，如何说明点P(x，f(x))关于原点对称的点P′(－x，－f(x))也在函数y＝f(x)的图象上？ 问题6由问题5的讨论，你能得出奇函数的图象具有怎样的对称性？具有奇函数图象对称性的函数是否为奇函数？ 探究点二　偶函数的概念 问题1　观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？ 问题2　关于y轴对称的点的坐标有什么关系？ 问题3　怎样说明函数f(x)＝x2的图象关于y轴对称？ 问题4如果函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数，类比奇函数的定义，如何定义偶函数？ 问题5　类比奇函数图象的对称性，偶函数的图象有怎样的对称性质？ 例1　判断下列函数哪些是偶函数：(1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝x2，x∈[－1,3]；(3)f(x)＝0. 跟踪训练1　判断下列函数是否为偶函数．(1)f(x)＝(x＋1)(x－1)； (2)f(x)＝. 例2　判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5； (2)f(x)＝x＋1. 跟踪训练2　判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－2)； (2)f(x)＝ 探究点三　函数奇偶性的应用 例3　如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 跟踪训练3　研究函数y＝的性质并作出它的图象 练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.下列函数中不是偶函数的是 (　　) A．f(x)＝－3x2 B．f(x)＝3x2＋|x| C．f(x)＝ D．f(x)＝x2－x＋1 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，则 (　　) A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)>0 D．f(x)·f(－x)≤0 3.如果偶函数f(x)在区间[-5-2]上是减函数且最大值为7，那么f(x)在区间[2,5]上是(　　) A．增函数且最小值为－7 B．增函数且最大值为7 C．减函数且最小值为－7 D．减函数且最小值为7 课堂小结： 1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有 f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数； 如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数． 2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称． $$2.1.4　函数的奇偶性(一) 【学习要求】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义；