人教B版高中数学必修1教学案：1.2.2集合的运算

1.2.2　集合的运算 第1课时　交集与并集 【学习要求】 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集． 2.能使用Venn图表示集合的交集和并集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用． 3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的交集与并集运算． 【学法指导】 通过观察和类比，借助Venn图理解集合的交集及并集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁性和准确性. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.交集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} . 2.交集的性质：(1)A∩B＝ B∩A ；(2)A∩A＝A ； (3)A∩∅＝∅∩A＝∅ ；(4)如果A⊆B，则A∩B＝A . 3.并集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．即A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} . 4.并集的性质：(1)A∪B＝ B∪A ；(2)A∪A＝A ；(3)A∪∅＝∅∪A＝A ；(4)如果A⊆B，则A∪B＝B . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]　两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题． 探究点一　交集 问题1　你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？ (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,8}，C＝{3,4,5}； (2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0<x≤3}； (3)A＝{x|x为高一(4)班语文测验优秀者}，B＝{x|x为高一(4)班英语测验优秀者}，C＝{x|x为高一(4)班语文、英语测验优秀者}． 答：通过观察得出集合C由集合A和集合B中的相同的元素构成． 问题2　在问题1中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？ 答：交集的定义：一般地，对于给定的集合A，B，由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 问题3　如何用集合语言表示直线l与⊙O相交于两点A，B? 答： l∩⊙O＝{A，B} 问题4　对于任意两个集合A，B，它们的交集有怎样的性质？ 答：A∩B＝B∩A, A∩B⊆A，A∩B⊆B. 问题5　如何用Venn图表示集合A∩B? 答：集合A∩B为下图所示的阴影部分． 问题6　A∩B＝A可能成立吗？A∩B＝∅呢？ 答：都有可能成立．当A⊆B时，A∩B＝A成立； 当集合A、B没有共同的元素时，A∩B＝∅. 例1　求下列每对集合的交集： (1)A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}； (2)C＝{1,3,5,7}，D＝{2,4,6,8}． 解　(1)A∩B＝{1，－3}∩{－1，－3}＝{－3}； (2)C∩D＝∅. 小结　两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 跟踪训练1　设A＝{x|x是奇数}，B＝{x|x是偶数}，求A∩Z，B∩Z，A∩B. 解：因为A是Z的子集，B是Z的子集，所以A∩Z＝A，B∩Z＝B，A∩B＝{x|x是奇数}∩{x|x是偶数}＝∅. 例2　已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，求A∩B. 解：A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝{(x，y)|}＝{(1,2)}． 小结：由于集合A和B都是一个二元一次方程的解集，集合A和B的元素是有序实数对，所以A交B为二元一次方程组的解集． 跟踪训练2　已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B. 解　A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}． 探究点二　并集 问题1　请同学们考察下列两组集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？ (1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}； (2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}． 答：通过观察，得出集合A和集合B的元素放在一起即为集合C的元素． 问题2　在问题1中，我们称集合C为集合A，B的并集，那么如何定义两个集合的并集？ 答：一般地，对于两个给定的集合A与B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并