专题09 幂函数、函数的应用（知识精讲）-【精创新教材】2019-2020高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

专题九 幂函数、函数的应用 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 幂函数、函数的应用 幂函数的概念 自变量的位置 幂函数的性质 指数的范围 幂函数的图象 指数的范围 函数的应用 确定函数的模型 二.学法指导 1.判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1. 2. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）. （2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3来判断. 3．比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”. 4.（1）．一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． （2）．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 5.二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 6（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． （2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． （3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 三.知识点贯通 知识点1 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 例1.　已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 知识点二 幂函数的图象及应用 1.在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 例题2：点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)． 知识点三 幂函数的性质运用 1.幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 例题3 .比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，. 知识点四 一次函数模型的应用 一次函数为： 例题4．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　) A．2 000套　　 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 类型五 二次函数模型的应用 二次函数：形如 例题5.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 类型六 分段函数模型的应用 例题6.某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)． (1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数； (2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 五 易错点分析 易错一 幂函数的判断 例题7.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．