专题2.1 等式与不等式（精讲精析篇）-2019-2020年新高考高中数学核心知识点全透视

专题2.1等式与不等式（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 不等式的性质及应用 1.比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． *(3)函数的单调性法 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． (8)开方法则：a>b>0⇒(n∈N，n≥2)．> 【典例1】（2018·上海高考真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果 ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【典例3】若,则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【特别提醒】 考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇． 热门考点02　一元二次不等式的解法 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法 求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1) EMBED Equation.DSMT4 ； (2) EMBED Equation.DSMT4 3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论． (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合 ，则 =（ ） A． B． C． D． 【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合 ，则 =__________； 【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示） 【特别提醒】 随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查． 热门考点03 一元二次不等式恒成立问题 1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． *(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a 恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. *3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 【典例7】若关于 的不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是______. 【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则a的