专题07 因式分解（专题详解）-2019-2020学年八年级数学上学期章末知识点专题详解（人教版）

专题07 因式分解专题详解 专题07 因式分解专题详解 1 方法一：多项式的一次因式 2 （1）长除法 2 （2）余数定理 3 （3）有理根的求法 4 （4）重要结论 5 方法二：提取公因式 6 （1）去（添）括号 6 （2）一次提净 7 （3）视“多”为一 8 （4）化“分”为整 9 方法三：应用公式 10 （1）平方差 10 （2）立方和与立方差 11 （3）完全平方 11 （4）完全立方 12 方法四：分组分解 13 （1）三部曲 13 （2）平均分配 14 （3）瞄准公式 15 （4）从零开始 16 方法五：拆项与添项 17 （1）拆开中项 17 （2）配成平方 18 方法六：十字相乘 19 （1）十字相乘前提条件 19 （2）系数和为零 21 方法七：二元二次式的分解 22 方法八：综合应用 24 （1）换元法 24 （2）主次分清 25 把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解。每个乘式称为积的因式。在因式分解中，通常要求各个乘式都是既约多项式，这样的因式称为质因式。 因式分解的方法有许多，下面我们一一分析。 方法一：多项式的一次因式 （1）长除法 多项式长除法：用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式，是常见算数技巧长除法的一个推广版本。注意，多项式除以多项式，如果采用连等式的形式化简，类似于约分，即：先将被除数与除数分别因式分解，然后消掉二者都有的公因式，得出最后的结果。对于次数较高的多项式进行因式分解，往往需要大量的添项，拆项等技巧，并且线索有时也不太明显。此刻，用连等进行化简的效率就远远不及长除法了。 计算方法：例：（）÷ 1）把被除式、除式按照某个字母降幂排列，缺项补零，写成如下形式： 2）用分子的第一项除以分母的最高次项，得到首商，写在横线上。 3）将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下。 4）将分子的相应项中减去刚得到的乘积，得到第一余式，写在下面。 5）如除法算式般，重复上述步骤，直至除尽。 因此，（）÷ 例1.（）÷ 例2.（）÷ （2）余数定理 余数定理：如果f（x）表示多项式。当f（c）=0时，那么（x－c）是f（x）的因式。反过来，如果x－c是f（x）的因式，那么f（c）=0. 当某一个多项式f（x）中，已知x=c时，则多项式必定包含因式（x－c）。然后在用长除法，可求得剩下部分的因式。 例1.设f（x）=2，计算f（1），f（－1），f（），并把f（x）分解。 例2.已知f（－1）=0，分解因式f（x）= 例3.已知f（1）=0，分解因式f（x）= （3）有理根的求法 f（x）=，有理根c=，p是常数项的因数，分母q是首项系数的因数。即。 此处求得的有理根c可能是使得f（x）=0的值。因此，在因式分解中，可先利用有理根求法，求解出多个c的值，将各个c的值代入多项式中，若求得多项式的值为0，则可利用余数定理进行因式分解。最后在利用长除法，分解出最终的因式。 例1.分解因式f（x）=2 例2.分解因式f（x）= 例3.分解因式f（x）=3 （4）重要结论 结论：如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根 该结论依旧利用有理根求法的思路，需求符合余数定理的数。发现规律，即该结论，当多项式系数和为0时，必有1的根。即（x－1）必为多项式的因式。再通过长除法，多项式除（x－1），求得剩余部分因式。 例1． 例2.（a-1） 方法二：提取公因式 提取公因式是最常见的因式分解技巧，在讲解提取公因式之前，先补充去（添）括号，为后续提取公因式作准备。 （1）去（添）括号 ①若括号前有因数时，应利用乘法分配律，先将该因数与括号内的各项分别相乘，然后再去括号；添括号时，若要提取公因式放在括号前面，则括号内每项都要除公因式，然后再添括号 ②括号前为“+”或“×”，则括号里面不变号；若括号前为“－”或“÷”，则括号里要变号（“+”变“－”、“－”变“＋”、“×”变“÷”、“÷”变“×”）。 例1.去括号：（1）8a+2b+（5a－b） （2）（5a－3b）－3（） 例2.（1）2（a+4b）－3（3a－6b） （2）2xy－3（2xy－y） 例3.（1）2a－3b+[4a－3（3a－b）] （2）3b－2c－[－4a+（c+3）]+c （2）一次提净 提取公式因，未能完全提净，则还需再次提取，增添了麻烦。利用短除法，一次提净，寻找最大公约数（功力到位者，直接观察得出公因式）。提取公因式，实际是利用乘法分分配律的过程。 注：在提取公因式时，一开始有几项，提取出公因式后，依旧还是有几项。 例1. 12 例2. 5 （3）视“多”为一 在稍微复杂一点的多项式中，公因式并非是几个字母的乘积（单项式），而是几个字母相加的组合（多项式）。我们可以把多项式看作一个整体，作为公因式提取出来。 例