必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系-高中数学基础知识【口袋图书】系列备考手册

马术（打一数学名词）———乘法 体 积 公 式 犞棱柱＝犛犺． 犞棱锥＝ １ ３ 犛犺． 犞棱台＝ １ ３ 犺（犛＋ 槡犛犛′ ＋犛′）． 犞圆柱＝π狉 ２犺． 犞圆锥＝ １ ３ π狉 ２犺． 犞圆台＝ １ ３ π犺（狉２＋狉狉′＋狉′２）． 犞球＝ ４ ３ π犚 ３． 　　第二章　点、直线、平面之间的位置关系 １．平面的基本性质 名称 内　容 公理１ 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内． 公 理 ２ 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个 平面． 推论１ 经过一条直线和这条直线外的一点， 有且只有一个平面． 推论２经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论３经过两条平行直线，有且只有一个平面． ４２ 高中数学备考手册·必修２  戽（打一数学名词）———内角（分解法） 公理３ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线． ２．空间两条直线之间的位置关系 位置 关系 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公 共点． 平行直线：在同一平面内，没有公共点． 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公 共点． 平行 公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角 定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行并且方向相同，那么这两个角相等． 异面 直线 所成 的角 已知两条异面直线犪、犫，经过空间任一点犗 作直线犪′∥犪、犫′∥犫，我们把犪′与犫′所成的锐 角（或直角）叫做异面直线犪与犫所成的角． 公垂 线 把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做 两条异面直线的公垂线． 异面 直线 的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间 的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． ５２ 第二章　点、直线、平面之间的位置关系  岁岁重阳今又重阳（打一数学名词）———循环节 ３．空间的直线和平面之间的位置关系及判定 位置 关系 直线在平面内：有无数个公共点． 直线与平面相交：有且只有一个公共点． 直线与平面平行：没有公共点． 直线 和平 面平 行的 性质 （１）直线和平面平行的性质定理：如果一条 直线和一个平面平行，经过这条直线的平面 和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行． （２）如果一条直线与一个平面平行，那么夹 在这条直线和平面间的平行线段相等． （３）如果一条直线与两个相交平面都平行， 那么这条直线与两个平面的交线平行． 直线 和平 面平 行的 判定 （１）直线和平面平行的判定定理：如果平面 外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行． （２）两个平面平行，其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面． （３）如果两条平行直线中的一条平行于一个 平面，那么另一条也平行于这个平面或在这 个平面内． ６２ 高中数学备考手册·必修２  追本溯源（打一数学名词）———求根 直线 和平 面平 行的 判定 （４）如果一条直线平行于两个平行平面中的 一个，那么这条直线也平行于另一个平面或 在这个平面内． （５）如果一个平面和平面外的一条直线都垂 直于同一平面，那么这条直线和这个平面平 行． 直线 与平 面所 成的 角 　　一条直线犘犃 和 一个平面α 相交，但 不和这个平面垂直， 这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平 面的交点犃叫做斜足，过斜线上斜足以外的 一点向平面引垂线犘犗，过垂足犗和斜足犃 的直线犃犗 叫做斜线在这个平面上的射影， 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （如图所示）． 直线 和平 面垂 直的 性质 （１）直线和平面垂直的性质定理：如果两条 直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平 行． （２）如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于该平面内的任何一条直线． ７２ 第二章　点、直线、平面之间的位置关系  对症下药（打一数学名词）———开方 直 线 和 平 面 垂 直 的 判 定 （１）定义：如果一条直线和一个平面内的任 意一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这 个平面． （２）直线和平面垂直的判定定理：如果一条 直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于平面． （３）如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于同一平面． （４）一条直线垂直于两个平行平面中的一个 平面，它也垂直于另一个平面． （５）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 直 线 和 平 面 斜 交 定理：从平面外一点向一个平面所引的垂线 段和斜线段中， （１）射影相等的两条斜线相等，射影较长的 斜线段也较长．