必修5 第二章 数列-高中数学基础知识【口袋图书】系列备考手册

笔记是自编的教材。 三 角 形 常 用 结 论 （１）△犃犅犆是正三角形的充要条件是犃、 犅、犆成等差数列且犪、犫、犮成等比数列． （２）犃、犅、犆成等差数列的充要条件是犅＝ ６０°． （３）ｔａｎ犃·ｔａｎ犅·ｔａｎ犆＝ｔａｎ犃＋ｔａｎ犅＋ ｔａｎ犆． （４）若犃＋犅＋犆＝π， 犃 ２ ＋ 犅 ２ ＋ 犆 ２ ＝ π ２ ，则 ｓｉｎ（犃＋犅）＝ｓｉｎ犆；ｃｏｓ（犃＋犅）＝－ｃｏｓ犆； ｓｉｎ 犃＋犅 ２ ｃｏｓ 犆 ２ ；ｃｏｓ 犃＋犅 ２ ＝ｓｉｎ 犆 ２ ； ｔａｎ 犃＋犅 ２ ＝ｃｏｔ 犆 ２ ． ｔａｎ（犃＋犅）＝ｔａｎ（π－犆）＝－ｔａｎ犆； （５）犃＞犅ｓｉｎ犃＞ｓｉｎ犅，ｃｏｓ犃＜ｃｏｓ犅． （６）已知两边犪、犫及边犪所对角犃 有两解 的条件是犫ｓｉｎ犃＜犪＜犫． 　第二章　数　列 １．数列的概念与表示 数列的 定义　 按照一定顺序排列着的一列数称为数列， 数列中的每个数叫做这个数列的项． 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限 的数列叫做无穷数列． ６７ 高中数学备考手册·必修５  “三心·二意”：信心、决心、决心；创意、乐意。 通项 公式 如果数列 犪｛ ｝狀 的第狀项与序号狀之间的关 系可以用一个公式来表示，那么这个公式 叫做这个数列的通项公式． 前狀 项和 数列 犪｛ ｝狀 的前狀 项和犛狀＝犪１＋犪２＋… ＋犪狀． 犛狀 与犪狀 的关系 犛狀 与通项犪狀 的关系是犪狀＝ 犛１，狀＝１ 犛狀－犛狀－１，狀≥２｛ ． 表示 方法 （１）列举法（如１、２、３、４、５…）； （２）图象法［用（狀，犪狀）这些孤立点表示］； （３）解析法（用通项公式表示，如犪狀＝狀－１）； （４）递推法［如犪１＝２，犪狀＝２＋ １ 犪狀－１ （狀≥２）］． ２．等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 犪狀＋１－犪狀＝犱 （狀∈犖） 犪狀＋１ 犪狀 ＝狇（狀∈犖）． 公差 （比） 犱＝ 犪狀－犪１ 狀－１ （狀≠１）； 犱＝ 犪狀－犪犿 狀－犿 （狀≠犿）． 狇 狀－１＝ 犪狀 犪１ ； 狇 狀－犿＝ 犪狀 犪犿 ． 通项 公式 犪狀＝犪１＋（狀－１）犱． 犪狀＝犪１狇 狀－１． ７７ 第二章　数 列  走过布满荆棘的坎坷，就是鲜花掌声。 前狀 项和 公式 犛狀 ＝ 狀（犪１＋犪狀） ２ ＝狀犪１＋ 狀（狀－１） ２ 犱． 犛狀 ＝ 犪１（１－狇 狀） １－狇 ＝ 犪１－犪狀狇 １－狇 （狇≠１）． 犛狀＝狀犪１（狇＝１）． 中项 公式 犃＝ 犪＋犫 ２ ． 犌＝±槡犪犫（犪犫＞０）． 增 减 性 犱＞０递增数列； 犱＝０常数列； 犱＜０递减数列； 犪１＞０且狇＞１递增数列； 犪１＜０且０＜狇＜１递增数 列； 犪１＞０且０＜狇＜１递减数 列； 犪１＜０且狇＞１递减数列； 狇＜０摆动数列； 狇＝１常数列． ３．等差数列的性质 若数列 犪｛ ｝狀 是公差为犱的等差数列，则： （１）犪狀＝犪犿＋（狀－犿）犱　（狀，犿∈犖）； （２）若犿＋狀＝狆＋狇，则犪狀＋犪犿＝犪狆＋犪狇； （３）等差数列依次犽项之和仍然是等差数列，即犛犽， 犛２犽－犛犽，犛３犽－犛２犽，…成等差数列； （４）在等差数列中，序号间隔相等的两项之差相等； （５）在等差数列中，２（犛２狀－犛狀）＝犛狀＋（犛３狀－犛２狀）． ８７ 高中数学备考手册·必修５  一次性就将事情做对。 ４．等比数列的性质 若 犪｛ ｝狀 为等比数列，公比为狇（狇≠０），则： （１）它的倒序数列仍为一个等比数列，公比为 １ 狇 ； （２）犪２狀＋１＝犪狀犪狀＋２； 犪２狀＝犪狀－犿犪狀＋犿（狀≥犿＋１，犿∈犖）； （３）若犿＋狀＝狆＋狇，则犪犿犪狀＝犪狆犪狇； 若犿＋狀＝２狆，则犪犿犪狀＝犪 ２ 狆； （４）犪狀＝犪犿狇 狀－犿；犛犿＋狀＝犛犿＋犛狀狇 犿＝犛狀＋犛犿狇 狀； 犪１犪２犪３…犪狀＝（犪１犪狀） 狀 ２；犪狀＋犿＝犪犿狇 狀＝犪狀狇 犿； （５）犪１犪狀＝犪２犪狀－１＝犪３犪狀－２＝… （犛２狀－犛狀） ２＝犛狀（犛３狀－犛２狀）． ５．等差（等比）数列的判定方法 类别 等差数列 等比数列 定义法 犪狀＋１－犪狀＝犱（常数） ｛犪狀｝是等差数列． 犪狀＋１ 犪狀 ＝狇（狇是不为０ 的常数，狀∈犖） ｛犪狀｝是等比数列． 中项公 式法　 ２犪狀＋１＝犪狀＋犪狀＋２ （狀∈犖）｛犪狀｝是等 差数列． 犪２狀＋１＝犪狀·犪狀＋２（犪狀犪狀＋１ 犪狀＋２≠０，（狀∈犖） ｛犪狀｝是等比列． ９７ 第二章　数 列  本无意与众不同，怎奈何品味出众。 通项公 式法　 犪狀