选修2-1 第三章 空间向量与立体几何-高中数学基础知识【口袋图书】系列备考手册

拿份报纸上厕所，俺是读书人。 　 　　第三章　空间向量与立体几何 １．向量的基本概念 定义 既有大小，又有方向的量叫向量． 向量 的表 示 向量可以用一条有向线段表示，用有向线段 的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向 表示向量方向． 模 向量的长度叫向量的模，记作｜犪｜或｜→犃犅｜． 零向 量 长度为零的向量叫做零向量，记作０；零向量 的方向不确定，规定零向量与任一向量平行． 单位 向量 长度等于１个单位的非零向量叫做单位向量． 平行 向量 方向相同或相反的向量叫平行向量，也叫共 线向量． 相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量． ５９ 第三章　空间向量与立体几何  吃自助最高境界：扶墙进，扶墙出。 ２．平面向量的线性运算 加 法 （１）向量法：三角形法则与平行四边形法则 　　三角形法则　　　平行四边形法则 （２）运算律： ①交换率：犪＋犫＝犫＋犪 ②结合律：（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮） 减法 利用相反向量将向量的减法运算变为加法运 算犪－犫＝犪＋（－犫） 数 乘 （１）定义：一般地，实数λ与向量犪的积是一个 向量，它的长度和方向规定如下： ｜λ犪｜＝｜λ｜｜犪｜；当λ＞０时，则λ犪与犪同向；当 λ＜０时，则λ犪与犪反向． （２）运算律：设λ、μ为实数，犪、犫为向量，那么： ①结合律：λ（μ犪）＝（λμ）犪 ②分配律：λ（犪＋犫）＝λ犪＋λ犫 ６９ 高中数学备考手册·选修２－１  上Ｇｏｏｇｌｅ上百度一下。 ３．平面向量的重要定理 向量 共线 定理：向量犪（犪≠０）与犫共线，当且仅当有唯 一一个实数λ，使犫＝λ犪 平面 向量 基本 原理 如果犲１、犲２ 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量犪，有且只有 一对实数λ１、λ２，使犪＝λ１犲１＋λ２犲２，犲１、犲２ 叫做 这一平面内所有向 量的一组基底． ４．平面向量的坐标运算 平面 向量 的坐 标表 示　 在平面直角坐标系中，分别取与狓轴狔轴方 向相同的两个单位向量犻、犼作为基底，对于 平面内的一个向量犪，由平面向量基本定理 可知，有且只有一对实数狓、狔，使得犪＝狓犻＋ 狔犼．我们把（狓，狔）叫做向量犪的坐标，记作 犪＝（狓，狔）． 向量 加法 犪＝（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２） 犪＋犫＝（狓１＋狓２，狔１＋狔２）． 向量 减法 犪＝（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２） 犪－犫＝（狓１－狓２，狔１－狔２）． ７９ 第三章　空间向量与立体几何  在哪里跌倒就在哪里躺下。 向量的 数乘 犪＝（狓，狔）与实数λ的积λ犪＝（λ狓，λ狔）． 向量的 平行 犪＝（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２）犪∥犫（犫≠０）的充 要条件是狓１狔２－狓２狔１－０． 线 段 的 定 比 分 点 （１）定比分点坐标公式 狓＝ 狓１＋λ狓２ １＋λ ， 狔＝ 狔１＋λ狔２ １＋ 烅 烄 烆 λ 　λ＝１ 狓中＝ 狓１＋狓２ ２ ， 狔中＝ 狔１＋狔２ ２ 烅 烄 烆 ． （２）定比分点向量公式： 犗为平面内任一点，犗犘→ １＝犪，犗犘→ ２＝犫，犘 分 犘１犘→ ２为定比λ（犘１→犘＝λ犘犘→ ２）． 则 →犗犘＝ λ １＋λ 犪＋ １ １＋λ 犫． （３）三角形重心公式 ① 坐 标 公 式 狓＝ 狓１＋狓２＋狓３ ３ ， 狔＝ 狔１＋狔２＋狔３ ３ 烅 烄 烆 ． ８９ 高中数学备考手册·选修２－１  骑白马的不一定是王子，他可能是唐僧。 线 段 的 定 比 分 点 ［（狓１，狔１）、（狓２，狔２）、（狓３，狔３）为三角形三顶点 的坐标］ ②向量公式 已知△犃犅犆，犗是平面内任一点，→犗犃＝犪， →犗犅＝犫，，→犗犆＝犮，犌为△犃犅犆的重心，则 →犗犌＝ １ ３ （犪＋犫＋犮）． 平移 公式 点犘（狓，狔）按给定平移向量犪＝（犺，犽）平移后 得 新 点 犘′ （狓′，狔′）的 坐 标 公 式 为 狓′＝狓＋犺， 狔′＝狔＋｛ 犽 ． ５．平面向量的数量积 定 义 两个非零向量犪和犫，它们的夹角为θ，则数 量｜犪｜·｜犫｜ｃｏｓθ叫做犪和犫的数量积（或内 积），记作犪·犫，即犪·犫＝｜犪｜·｜犫｜ｃｏｓθ＝ 狓１狓２＋狔１狔２． 几何 意义 数量积犪·犫等于犪的长度｜犪｜与犫在犪的方 向上的投影｜犫｜ｃｏｓθ的乘积． ９９ 第三章　空间向量与立体几何  开车无难事，只怕有新人！ 性 质 设犪＝（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２），则 （１）犲·犪＝犪·犲＝｜犪｜ｃｏｓθ （２）犪⊥犫犪·犫＝０狓１狓２＋