1.4.3 含有一个量词的命题的否定（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

1．4.3　含有一个量词的命题的否定 1．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2．掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 1．全称命题 把含有　全称量词　的命题叫全称命题，其表述形式为“∀x∈M，p(x)”． 2．特称命题 把含有　存在量词　的命题叫特称命题，其表述形式为“∃x0∈M，p(x0)”． 1．对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0) ，全称命题的否定是 特称命题 ． 2．对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x) ．特称命题的否定是 全称命题 ． 3．全称命题p与它的否定綈p(特称命题)有且只有一个为 真 命题． 特称命题p与它的否定綈p(全称命题) 有且只有一个 为真命题． 4．常用词语的否定如下表 原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定词语 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 原词语 至多有一个 至少有一个 至多有n个 否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有n＋1个 原词语 任意的 任意两个[来源:Z&xx&k.Com][来源:学科网ZXXK] 所有的 能 或 否定词语 某个 某两个 某些 不能 且 [要点一]　全称命题的否定 [例1] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)自然数的平方是正数． [解析]　(1)真命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形． (2)假命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根． (3)假命题，其否定为∃a，b∈R，方程ax0＝b没有唯一解． (4)假命题，因为0∈N，但0的平方不是正数，其否定为：有的自然数的平方不是正数． [名师点睛] 1．全称命题的否定是特称命题．因为要否定全称命题“∀x∈M，p(x)成立”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也即“∃x0∈M，綈p(x0)成立”． 2．要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例． 3．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”，应将原命题添加上适当的全称量词，然后再写出它的否定，以防出错．如本例(4)其否定若写成自然数的平方不是正数显然是错误的．(此时p与綈p均假) [变式训练] 1．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)任何一个平行四边形的对边都平行； (4)负数的平方是正数． 解析：(1)是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题． 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下． (3)是真命题，其否定：有的平行四边形的对边不都平行． (4)是真命题，其否定：有的负数的平方不是正数． [要点二]　特称命题的否定 [例2] 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：有的正方形是矩形； (2)r：∃x0∈R，x－x0＋2>0； (3)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0； (4)q：∃x0，y0∈N，如果＋|y0|＝0，则x0＝0且y0＝0. [思路点拨]　存在量词改全称量词，写出命题的否定，并判断真假． [解析]　(1)綈q：任意一个正方形都不是矩形，假命题． (2)綈r：∀x∈R，x2－x＋2≤0，假命题． (3)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题． (4)綈p：∀x，y∈N，如果＋|y|＝0，则x≠0或y≠0，假命题． [名师点睛] 1．特称命题的否定是全称命题，要否定特称命题“∃x0∈M，p(x0)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“∀x∈M，綈p(x)成立”． 2．要证明特称命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件即可． 3．只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆． [变式训练] 2．写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)至少有一个二次函数没有零点； (4)存在一个角α0∈R，使得sin2α0＋cos2α0≠1. 解析：(1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也