2.2.1 椭圆及其标准方程（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

2．2　椭圆 2．2.1　椭圆及其标准方程 1．理解椭圆定义，掌握椭圆的标准方程． 2．会求与椭圆有关的轨迹方程． 1．平面内与一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 2．求曲线方程的一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任一点M的坐标； (2)写出符合条件p的点M的集合P； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0； (4)化简方程； (5)证明以方程的解为坐标的点都在曲线上． 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的　距离的和等于常数(大于|F1F2|)　的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫作椭圆的　焦点　，　两焦点间的距离　叫作椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点坐标 (－c,0)、(c,0) (0，－c)、(0，c) a、b、c的关系 c2＝　a2－b2　 [要点一]　用待定系数法求椭圆的标准方程 [例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点和点.[来源:学科网] [思路点拨]　对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解．但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)然后代入已知点求出A、B. [解析]　(1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4， ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⇒ 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (3)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． ∵点和点在椭圆上， ∴∴而a>b>0， ∴a2＝1，b2＝9不合题意， 即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在． ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)． ∵点和点在椭圆上， ∴∴ ∴所求椭圆的方程为＋x2＝1. 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， ∵点和点都在椭圆上， ∴即 ∴ ∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. [名师点睛] 1．用待定系数法求椭圆的标准方程一般按照“先定位(即确定焦点在哪个坐标轴上)，再定量(即确定a、b的值)，位置不定分情况(即分焦点在x轴和y轴两种情况分类求解)”的策略求解． 2．对于已知椭圆过两点求标准方程时设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可避免分类讨论，求解更为简捷． [变式训练] 1．(1)求经过点A(3，)，B(2,3)的椭圆的标准方程； (2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离之和为24，求此椭圆的标准方程； (3)已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程． 解析：(1) 设所求椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)， 将A(3，)，B(2,3)代入得 解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意知2c＝16，c＝8,2a＝24， ∴a＝12， 进而b2＝a2－c2＝144－64＝80. 当椭圆的焦点在x轴上时，方程为＋＝1， 当椭圆的焦点在y轴上时，方程为＋＝1. 故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (3)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)，从而有 解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， 故椭圆的方程为＋＝1. [要点二]　椭圆定义的应用 [例2] 如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点． (1)求△AF1B的周长； (2)如果AB不垂直于x轴，那么△AF1B的周长有变化吗？为什么？ [思路点拨]　因为A，B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，为常数． [解析]　(1)由题意知A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|. 所以△AF1B的周长为|AF1|＋|