2.3.2.1 双曲线的简单几何性质（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

2．3.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 1．掌握双曲线的简单几何性质． 2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念． 3．理解离心率和双曲线形状之间的变化关系． 1．椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围[来源:Zxxk.Com] －a≤x≤a －b≤y≤b －a≤y≤a －b≤x≤b 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝ 2b ，长轴长＝ 2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 2c 对称性 对称轴：x轴，y轴 ，对称中心：原点O(0,0) 离心率 e＝ 2.等轴双曲线 　实轴　和　虚轴　等长的双曲线叫做等轴双曲线；等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程是y＝±x；其离心率e＝. 　双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝ 2a ，虚轴长＝ 2b 离心率 e＝ (e>1) 渐近线 　　±＝0或y＝±x 　±＝0或y＝±x [要点一]　已知双曲线标准方程求其几何性质 [例1] 求双曲线9x2－16y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程，并作出草图． [思路点拨]　解答本题需先把方程化成标准形式，确定a、b、c，然后再探求其几何性质． [解析]　把方程9x2－16y2＝－144化为标准形式是－＝1， ∴a＝3，b＝4，c＝5. ∴半实轴长为3，半虚轴长为4，焦点坐标分别为(0，－5)，(0,5)，离心率e＝＝. 顶点坐标为(0，－3)，(0,3)． 渐近线方程y＝±x. 图形如图． [名师点睛] 1．利用方程研究双曲线的几何性质时，首先考虑化为标准形式，确定准a、b的值是关键．注意“焦点跟着正项走，焦点顶点一条线”． 2．画双曲线的简图时，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线所在的直线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的近似图形． [变式训练] 1．(1)(2016年江苏卷，3)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是　________　. (2)求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． (1)解析：c＝＝，因此焦距为2c＝2. 答案：2 (2)解析：将4x2－y2＝4变形为x2－＝1，即－＝1. ∴a＝1，b＝2，c＝. 因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)； 焦点为F1(－，0)，F2(，0)； 半实轴长是a＝1，半虚轴长是b＝2； 离心率e＝＝＝； 渐近线方程为y＝±x＝±2x，草图如图． [要点二]　由双曲线的几何性质求其标准方程 [例2] 根据下列条件，求出双曲线的标准方程． (1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10； (2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2)； (3)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝. [思路点拨]　均用待定系数法求解．焦点所在坐标轴不定时可分类讨论，也可利用渐近线或与已知双曲线共渐近线条件，灵活设出所求双曲线方程的一般形式(一个参数形式)． [解析]　(1)法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由渐近线方程为y＝±x，得＝. 又2c＝10，c2＝a2＋b2，所以a2＝20，b2＝5. 所以双曲线方程为－＝1.[来源:学科网ZXXK] 同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线方程为－＝1. 即所求双曲线方程为－＝1或－＝1. 法二：由渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即－＝1.由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.所以所求双曲线的方程为 －＝1或－＝1. (2)法一：由双曲线方程－＝1得a＝3，b＝4. ∴渐近线方程为y＝±x. 又当x＝－3时，y＝－x＝－×(－3)＝4>2， ∴所求的双曲线的焦点在x轴上． 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 由