2.3.2.2 双曲线方程及性质的应用（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

第2课时　双曲线方程及性质的应用 1．掌握直线与双曲线位置关系的判断方法． 2．能解决双曲线有关弦长及中点弦问题． 3．了解双曲线有关的应用． 1．直线与椭圆有三种位置关系： (1)相交——直线与椭圆　有两个不同　的公共点； (2)相切——直线与椭圆　有且只有一个　公共点； (3)相离——直线与椭圆　没有　公共点． 2．直线与椭圆的位置关系的判断 我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题，而它们的方程所组成的方程组的解的问题通常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此，直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二次方程的　判别式　来判断． 1．直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝　±　时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线　相交　；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线　相切　；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线　相离　. 2．弦长公式 斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2| ＝·. [要点一]　直线与双曲线的位置关系 [例1] 已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. (1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为，求实数k的值． [思路点拨]　(1)直线与双曲线的位置关系，仍采用解方程组的思想方法，转化为Δ进行．(2)先求面积表达式，解方程求得k. [解析]　(1)曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的解，代入整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，此方程必有两个不等的实根x1，x2， 由题意得， 解之得－<k<且k≠±1. (2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l过定点D(0，－1)． 由(1)知 ∴S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝ |x1－x2|＝. ∴(x1－x2)2＝(2)2，即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.又∵－<k<，∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为. [名师点睛] 1．直线与双曲线的位置关系问题有两类基本问题：一是判断位置关系，二是已知位置关系求参数的值或范围． 2．解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系． [变式训练] 1. 试根据直线l：y＝k(x－1)与双曲线x2－y2＝4的位置关系，讨论实数k的取值范围． 解析：由消去y，并化简得 (1－k2)x2＋2k2x－(k2＋4)＝0.Ⓐ (1)当1－k2＝0，即k＝±1时，方程Ⓐ化为2x－5＝0， ∴x＝，方程Ⓐ只有一解．事实上，此时直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点． (2)当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2＋4(1－k2)(k2＋4)＝4(4－3k2)． ①当⇔k<－，或k>时，方程Ⓐ无解，此时直线与双曲线无公共点．[来源:学科网] ②当⇔k＝±时，方程Ⓐ只有一解，此时直线与双曲线只有一个公共点． ③当⇔－<k<且k≠±1时，方程Ⓐ有两个不同的实数解，此时直线与双曲线有两个公共点． 综上所述，当直线与双曲线无公共点时，k<－， 或k>； 当直线与双曲线只有一个交点时，k＝±1或k＝±； 当直线与双曲线有两个交点时，－<k<且k≠±1. [要点二]　双曲线的中点弦问题 [例2] 给定双曲线x2－＝1，过点B(1,1)是否能作直线m，使它与所给的双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的m如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由． [思路点拨]　中点弦问题，常用点差法解决，也可把直线与双曲线联立消元后，利用韦达定理及中点公式解决． [解析]　假设存在直线m过B与双曲线交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中点，当直线m的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点； 当直线m的斜率存在时， 设直线