2.4.1 抛物线及其标准方程（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

2．4　抛物线 2．4.1　抛物线及其标准方程 1．理解抛物线的定义及焦点、准线的概念，能灵活利用解决问题． 2．会求简单的抛物线的方程． 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是　一条抛物线　，其对称轴为x＝　－　，顶点是　　. 当a>0时，y最小＝　　；当a<0时，y最大＝　　. 2．函数y＝ax2(a≠0)的图象按向量a＝平移，即可得到y＝ax2＋bx＋c(c≠0)的图象． 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)　距离相等　的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的　焦点　，直线l叫作　抛物线的准线　. 2．抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　y2＝2px(p>0)　 　F　 　x＝－　 　y2＝－2px(p>0)　 　F　 　x＝　 　x2＝2py(p>0)　 　F　 　y＝－　 　x2＝－2py(p>0)　 　F　 　y＝　 [学生用书P40] [要点一]　求抛物线的焦点坐标和准线方程 [例1] 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)y2＝－8x； (2)2x2－5y＝0； (3)y2＝ax(a<0)． [思路点拨]　解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p(p>0)，再求焦点和准线方程． [解析]　(1)因为p＝4，所求抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程是x＝2. (2)2x2－5y＝0化为x2＝y，抛物线开口向上， ∴p＝. ∴抛物线焦点，准线方程y＝－. (3)法一：∵a<0，令a＝－2p(p>0) 则p＝－，y2＝－2px(p>0) 所以抛物线的焦点为，准线方程为y＝－. 法二：由于一次项是x，故焦点坐标为，准线方程为x＝－. [名师点睛] 1．已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p>0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数为负，焦点在负半轴． 2．对于含参数的形式，化为标准形式后，一次项系数的倍即为焦点坐标的非零坐标，进而写出准线方程．如本例(3)中的法二． [变式训练] 1．(1)抛物线y＝4ax2(a<0)的焦点坐标是　________　. (2)抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为　________　，准线方程为　__________________　. 解析：(1)因为一次项是y，所以焦点在y轴上，同时抛物线方程不标准，要先将其化为标准方程，然后写出焦点坐标．将抛物线y＝4ax2(a<0)化为标准方程x2＝y(a<0)，所以焦点坐标为. (2)抛物线x＝ay2可化为y2＝x(a≠0)． ①当a>0时，＝，抛物线开口向右、焦点坐标为，准线方程为x＝－. ②当a<0时，＝－，抛物线开口向左、焦点坐标为，准线方程为x＝－. 故不论a>0还是a<0，焦点坐标为，准线方程为x＝－. 答案：(1)　(2)　x＝－ [要点二]　求抛物线的标准方程 [例2] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．[来源:学。科。网Z。X。X。K] (1)过点P(－3,2)； (2)焦点在直线2x－y＋6＝0上； (3)焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5； (4)焦点到准线的距离为. [思路点拨]　求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论． [解析]　(1)当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝ax(a≠0)，又过点P(－3,2)，所以4＝－3a，即此时方程为y2＝－x.当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my(m≠0)，又过点P(－3,2)，所以9＝2m，即此时方程为x2＝y.综上得抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y. (2)因为焦点既在直线2x－y＋6＝0上，又在坐标轴上，所以，令x＝0，则y＝6，即此时焦点为(0,6)，方程为x2＝24y.令y＝0，则x＝－3，即此时焦点为(－3,0)，方程为y2＝－12x.综上得抛物线的标准方程为x2＝24y或y2＝－12x. (3)由题意，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． A(3，m)到焦点距离为5，∴＋3＝5.即p＝4. ∴所求抛物线方程为y2＝8x. (4)由焦点到准线的距离为，可知p＝. ∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y. [名师点睛] 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)． [变式训练] 2．(1)已知双曲线C1：－