专题05 二次函数与一元二次不等式（知识精讲）-【精创新教材】2019-2020高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

专题五 二次函数与一元二次不等式 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 一元二次不等式 一元二次不等式 二次项系数的正负 分式不等式 分母不等于0 不等式恒成立 二次函数的图像 二.学法指导 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. 2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. 3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 5写解集.根据图象写出不等式的解集. 2. 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2. 3．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： 1根据解集来判断二次项系数的符号； 2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； 3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 4.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 5．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 6.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 三.知识点贯通 知识点1 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 不等式解集 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 例1.　解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0. 知识点二 三个“二次”的关系 1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。 例题2：已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 知识点三 分式不等式的解法 1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) 例题3 .　解下列不等式： (1)<0；(2)≤1. 五 易错点分析 易错一 含参不等式，讨论根的大小 例题4.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 易错二 分式不等式 例题5.解下列不等式：(1)≥0； $$ 专题五 二次函数与一元二次不等式 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 一元二次不等式 一元二次不等式 二次项系数的正负 分式不等式 分母不等于0 不等式恒成立 二次函数的图像 二.学法指导 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. 2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. 3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 5写解集.根据图象写出不等式的解集. 2. 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2. 3