专题17 三角恒等变换-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题17 三角恒等变换 【名师预测】 三角恒等变换是三角变换的工具，在江苏高考中，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识。填空题、解答题均会出现，几乎每年都有一道解答题，难度中档。 【知识精讲】 一、简单的三角恒等变换 1．半角公式 （1） （2） （3） 【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 2．公式的常见变形 （1）由(sin α±cos α)2＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝1±sin 2α. （2）由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α⇒ （3）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；cos2α＝，sin2α＝. （4）sin α±cos α＝sin. 3．几个常用的恒等变换 万能代换：sin α＝；cos α＝；tan α＝. 【典例精练】 考点一 三角函数式的化简 例1．化简：＝________. 例2．化简： (0＜θ＜π)． 考点二 三角函数式的求值 例3．已知cos＝，则cos＝________. 例4．＝________. 例5．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝________. 考点三 三角恒等变换的综合应用 例6．已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求： （1）函数f(x)的单调区间； （2）函数f(x)图象的对称轴和对称中心． 例7．已知cos＝，α∈. （1）求sin α的值； （2）若cos β＝，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值． 例8．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)． （1）求sin 2α－tan α的值； （2）若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域． 【名校新题】 一、填空题 1．（2019·高邮开学考试）已知，则的值为______. 2．（2018·东台期末）已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________. 3．（2018·苏州期中调研）已知tan＝2，则cos 2α＝________. 4．（2018·通州期末）已知cos＝，则sin＝________. 5．（2019·宜兴检测）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足4cos2－cos 2(B＋C)＝，则角A的大小为________． 6．（2018·金陵中学检测）已知sin＝cos，则cos 2α＝________. 7．（2019·苏州中学模拟）已知α∈，sin＝，则tan 2α＝________. 8．（2018·通州期中）计算：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________. 9．（2019·如东中学月考）已知cos＝，≤α≤，则cos＝________. 10．（2019·南京模拟）若tan α＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________． 11．（2019·南京二模）在中，若，则的最大值为______. 12．（2019·南通基地学校3月联考）已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____． 13．（2019·常州期中）函数的最小正周期是______． 14．（2019·盐城中学期末）已知，，且，则______． 二、解答题 15．（2019·启东中学高三开学考试）已知函数. （1）求的最小值并写出此时的取值集合； （2）若，求出的单调减区间； （3）若的一个零点，求的值. 16．（2019·高邮开学考试）在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点. （1）求的值； （2）若，且，求角的值. 17．（2019·南通适应性考试）在中，已知，，. （1）求的长； （2）求的值. 18．（2019·南通通州区4月月考）已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）在中，已知为锐角，，，，求边的长． 19．（2019·天一中学11月月考）已知，． （1）求的值； （2）设函数，，求函数的单调增区间． 20．（2019·扬州调研）已知cos＝，α∈. （1）求sin α的值； （2）若cos β＝，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 $$ 专题17 三角恒等变换 【名师预测】