专题18 正弦定理与余弦定理-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题18 正弦定理与余弦定理 【名师预测】 正弦定理与余弦定理是江苏高考必考内容，重点为正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考题灵活多样，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识。在江苏高考中，填空题以考查用正弦、余弦定理解三角形为主，难度不大，解答题常与其它知识综合命题，难度中档。 【知识精讲】 一、正弦定理 1．正弦定理 在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1） （2） （3） （4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径. 3．解决的问题 （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在中，已知，和时，三角形解的情况 二、余弦定理 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2．余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论：. 3．解决的问题 （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤 三、三角形面积公式及高的公式 1．三角形的面积公式 设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S. （1） (h为BC边上的高)； （2）； （3）(为三角形的内切圆半径)． 2．三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA． 【典例精练】 考点一 利用正、余弦定理解三角形 例1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3， S△ABC＝2，则b的值为________． 例2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin B＋sin C＝msin A(m∈R)，且a2－4bc＝0. （1）当a＝2，m＝时，求b，c的值； （2）若角A为锐角，求m的取值范围． 考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 例3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC的形状为______________． 例4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________． 考点三 与三角形面积有关的问题 例5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于________． 例6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝－2ccos C. （1）求C的大小； （2）若b＝2a，且△ABC的面积为2，求c的值． 【名校新题】 一、填空题 1．（2019·盐城期中模拟）在中，，，面积为，则边长=_________. 2．（2019·徐州12月月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则角C＝_______． 3．（2019·镇江期中）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝45°，C＝75°，a＝1，则b＝__________． 4．（2019·苏州高考模拟最后一卷）已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＞b且，则A＝_______． 5．（2019·高邮开学考试）已知的内角所对的边分别为，若，则_______. 6．（2019·苏锡常镇第二次调研）设三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，则__________． 7．（2019·南通学情调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，若，则A=__________． 8．（2019·南通期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为.若,则__________． 9．（2019·扬州期中）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，cosB＝，那么角A的大小为_______． 10．（2019·泰州中学开学考试）在中，角的对边分别为，已知，，角的平分线交边于点，其中，则______. 11．（2019·苏州5月信息卷）已知的边，，的对角分别为，，，若且，则角的大小为_____. 12．（2019·江苏七市第二次调研）在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为____． 13．（2019·南通4月阶段测试）在中，角的对边分别为，若，则＝______. 14．（2019·常州武进区期中）已知不等边（三条边都不相等的三角形）的