专题19 解三角形的综合应用-巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描（文理通用）

专题19 解三角形的综合应用 【名师预测】 在江苏高考中，解三角形的综合应用，主要是利用正弦定理与余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性。题型主要为填空题为主，中档难度。 【知识精讲】 一、解三角形的实际应用 1．测量中的术语 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角 相对于某一正方向的水平角. ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)； ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 2．解三角形实际应用题的步骤 【典例精练】 考点一 测量高度问题 例1． 个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m. 例2．如图，为了测量河对岸的塔高AB，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20 m，则塔高AB＝________m. 考点二 测量距离问题 例3．要测量河对岸两个建筑物A，B之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为________km. 例4．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝. 若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为________m. 例5．如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m. 考点三 测量角度问题 例6．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上． 例7．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值． 【名校新题】 一、填空题 1．（2019·扬州调研）如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为________m. 2．（2019·南通模拟）2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里． 3．（2018·镇江模拟）在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为________． 4．（2018·天一中学检测）线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小． 5．（2018·启东二模）如图所示，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿的距离为________海里． 6. （2019·通州中学测试）甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东