专题12 圆的有关性质（知识点串讲）-2019-2020学年九年级数学上册期末考点大串讲（人教版）

专题12 圆的有关性质 知识网络 重难突破 知识点一 圆的基础概念 圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 确定圆的条件： 1 圆心； 2 半径， 3 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 补充知识： 1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆． 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦． 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点） 典例1（2017费县期末）下列命题中正确的有( ) ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 典例2（2019汕头市期末）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm． A.2 B.4 C.8 D.16 典例3（2018大庆市期末）下列说法错误的是（　 　） A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧 典例4 下列命题中正确的是（ ） A．过圆心的线段叫做圆的直径 B．面积相等的两个圆是等圆 C．大于半圆的弧叫劣弧 D．平分弦的直径垂直于这条弦 典例5（2019余杭区期末）已知是半径为5的圆的一条弦，则的长不可能是（ ） A．4 B．8 C．10 D．12 知识点二 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 常见辅助线做法（考点）： 1） 过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 典例1（2019·广东铁一中学初三期中）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（　　） A．90° B．120° C．135° D．150° 典例2（2019赣州市期中）下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的弧所对弦相等 D．长度相等弧是等弧 典例3（2018·山东胜利一中初三期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（　　） A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m 典例4（2018寿光县期末）已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（　　） A.4cm B.5cm C.4cm D.2cm 知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角． 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等 典例1（2018燕山区期末）如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（　　） A.25° B.25°+n° C.50° D.50°+n° 典例2 如图，已知是的直径，、是劣弧的三等分点，，那么 A. B. C. D. 典例3 （2018泗阳县期中）下列命题中，真命题是（ ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．面积相等的两个圆是等圆 C．三角形的内心到各顶点的距离相等 D．长度相等的弧是等弧 知识点四 圆周角定理（考点） 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 典例1（2018泗阳县期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 典例2（2017安定县期末）如图，已知是的直径，，则的大小为（