人教版八年级上册 13.4 最短路径问题 课件（共56张ppt）

13.4 最短路径问题 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 知识回顾 选第②条 两点之间，线段最短 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小． 两点在一条直线异侧 这是为什么呢？ 两点之间，线段最短 连接AB，线段AB与直线l的交点P ，就是所求． 探究 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ l A B 将军饮马问题 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ l A B 探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ 探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？ 探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？ 不行 探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 能不能把点在同侧的问题转化为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧B′处，得满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等． 你想到怎么做了吗？ 探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 作法： 作点B 关于直线l 的对称点B ′； 连接AB ′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． 你能证明此时 AC+BC最短吗？ B ’ 证明 证明此时AC+CB 最短 证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′． 由轴对称的性质知， BC =B ′C，BC ′=B ′C ′