专题02 充分条件、必要条件、全称量词、存在量词（知识精讲）-【精创新教材】2019-2020高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

专题二 充分条件、必要条件、全称量词、存在量词 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 充分条件、必要条件、全称量词、存在量词 充分条件、必要条件 谁是条件，谁是结论 充要条件 充分性与必要性的证明方向 含有一个量词的命题的否定 量词改变，结论否定 二.学法指导 1.定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论； 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。 2. 充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 3．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1化简p，q两命题； 2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 3利用集合间的关系建立不等式； 4求解参数范围. 4.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法： 1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”. 2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 5.含有一个量词的命题的否定的方法 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 三.知识点贯通 知识点1 充分条件、必要条件的判断 1. 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 2.若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． 3.若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． 4、若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 例1.指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． (3)p：a＞b，q：ac＞bc. 知识点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用 1.记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA. 2.记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件． 例题2：已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 知识点三 充要条件的证明 1.一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地 说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 例题3 .求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 知识点四 全称量词命题和存在量词命题的判断 1.全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 例题4．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＝. 知识点五 含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词