专题04 几何辅助线（专题详解）-2019-2020学年八年级数学上学期章末知识点专题详解（人教版）

专题4-几何辅助线专题详解 专题4-几何辅助线专题详解 1 一、辅助线添加策略 3 策略1 按定义添辅助线 3 策略2 按基本模型添辅助线 3 二、添加辅助线的方法及举例 4 方法1 求角思想及模型 4 第一类：方程思想求角度 4 第二类：转化思想求角度 4 第三类：整体思想求角度 5 第四类：数学模型—角平分线模型 6 第五类：数学模型—对顶三角形模型 6 第六类：分类讨论思想求角度 7 方法2 关于中点的辅助线 7 第一类：已知中点 7 第二类：证中点 8 方法3 截长补短法 9 方法4 作垂线构造全等求点的坐标 10 方法5 关于角平分线的辅助线 11 第一类：角平分线上的点向两边作垂线 11 第二类：过边上的点向两边作垂线 12 第三类：过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 13 第四类：利用角平分线的性质，在角两边截长补短 13 方法6 等腰三角形的辅助线 14 第一类：分类讨论思想 14 第二类：“三线合一”作辅助线 15 第三类：构造等腰三角形 16 方法7 等边三角形的辅助线 19 第一类：构造30°的直角三角形 19 第二类：作平行线构造等边三角形 20 第三类：共顶点的等边三角形 21 一、辅助线添加策略 三角形是基础几何图形，是一切几何图形证明的基础。在求证几何图形时，往往需要添加辅助线构成新图形，进而形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为常规问题去解决，则是三角形证明中的常规策略。 添加辅助线有二种常见策略：按定义添加辅助线、按基本模型添加辅助线。 策略1 按定义添辅助线 （1）角平分线性质：角平分线上的点到两边的距离相等。 利用这个性质，常见辅助线为：取角平分线上一点，向角的两边作垂线。 （2）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 利用这个性质，常见辅助线为：取垂直平分线上一点，连接该点与线段的两个端点。 策略2 按基本模型添辅助线 几何图形的学习，主要是模型的积累的过程。几何模型比较多，例如中线模型、等腰三角形模型、角平分线模型、等边三角形模型等，具体分析见下文。每一种模型，因其独有的特性，往往有比较确定的几种辅助线方法。在解决几何问题的过程中，我们要抓住图形的关键特征，确定图形的基本模型，然后借助该模型的辅助线的方法，按照规律添加合适的辅助线，切勿乱添线。 二、添加辅助线的方法及举例 方法1 求角思想及模型 第一类：方程思想求角度 性质：（1）三角形内角和=180°； （2）对顶角相等，邻补角互补； （3）三角形外角=不相邻两个内角和。 解题技巧：若图形中角比较多，用设未知数方法，利用上述3条性质，将图形角度之间的关系转化为方程的形式求解。 例1.在△ABC中，∠A－∠B=30°，∠C=4∠B，求∠C的度数。 例2.如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数。 例3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠1=∠A，∠2=∠C，求∠A的度数。 第二类：转化思想求角度 解题技巧：求解多个角度和问题时，先利用三角形角度间的基本性质，将不规则图形中的角度转化到同一个三角形（多边形）中；再利用三角形（多边形）内角和性质求解角度。 例1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 例2.如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，证明AF∥CD。 例3.如图，△ABC的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∠A=70°，求∠FPB+∠EPC的度数。 第三类：整体思想求角度 解题技巧：根据题干特点，有时单一的看待某个角度，难以解出题目要求的角度。这时，需要将2个角或多个角看成一个整体，在利用三角形内角和等性质进行转化求解。 例1.如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，求∠A。 例2.如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点D处，求∠1，∠2与∠C的数量关系。 第四类：数学模型—角平分线模型 性质：角平分线将一个角平分为相等的两部分 解题技巧：此类题型，往往会告知多个角平分线，要求求解某一特定角。建议设平分后的角为未知数，利用方程的思想，转化为求解方程的形式来求解特定的角。 例1.已知△ABC中，点P为∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，证明∠P= 例2.如图，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC。 求∠B+∠C与∠AED。 第五类：数学模型—对顶三角形模型 性质：若两个三角形有一个对顶角，则这两个对顶角相等，那么这两个三角形剩下的两个角的和相等。 解题技巧：利用对顶三角形另两个角的和相等的性质，列写对顶三角形另两个角之和相等的等式，通过转化，求解出题干要求的角度