2.1.2 第2课时　椭圆标准方程及性质的应用（课件+作业）2019-2020学年高中数学选修1-1【优化探究】同步导学案（人教版）

第2课时　椭圆标准方程及性质的应用 内　容　标　准 学　科　素　养 1.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合思想． 2.了解椭圆的简单应用． 3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 利用直观想象 发展逻辑推理 提高数学运算 授课提示：对应学生用书第26页 [基础认识] 知识点一　点与椭圆的位置关系 点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示：三种．已知点P(x0，y0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2， 点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2， 点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. 判断下列各点与椭圆＝1的位置关系： ＋ ①P1；③P3(1,2)； ；②P2 ④P4. 提示：直线x＝1与椭圆的交点为， ∵－， ，2><<－，－<< ∴点P1在椭圆上，P2、P4在椭圆内，P3在椭圆外，如图所示．　　　 　知识梳理　点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系： ＋ 点P在椭圆上⇔＝1； ＋ 点P在椭圆内部⇔<1； ＋ 点P在椭圆外部⇔>1. ＋ 知识点二　直线与椭圆的位置关系[来源:学科网ZXXK] 直线与圆的位置关系是怎样判断的？ 提示：几何方法：设圆心到直线的距离为d，[来源:学.科.网Z.X.X.K] 圆的半径为r. 则d<r⇔直线与圆相交． d＝r⇔直线与圆相切． d>r⇔直线与圆相离． 代数方法：直线方程与圆的方程联立方程组： Δ>0⇔相交， Δ＝0⇔相切， Δ<0⇔相离．　　　 我们可以比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系，能否比较椭圆中心到直线的距离与长轴长或短轴长的大小关系来判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：不能，只能用直线方程与椭圆方程联立方程组判断其解的个数来判定． 　知识梳理　(1)直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系： ＋ 联立消y得一个关于x的一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 (2)直线与椭圆相交弦的长度：l＝，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根． ·＝·|x1－x2|＝ (3)弦的中点P0(x0，y0)与弦所在直线的斜率k的关系． (点差法)设弦AB的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝0， ＋⇒ 即＝0， ＋ 即＝0， ＋ 即＝0.[来源:Zxxk.Com]＋ [自我检测] 1．已知点(3,2)在椭圆＝1上，则 ＋ A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3,2)在椭圆上 D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 答案：C 2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　 B．相切 C．相交 D．无法确定 答案：C 3．直线y＝x＋1被椭圆＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) ＋ A. B. C. D. 答案：C 授课提示：对应学生用书第28页 探究一　直线与椭圆的位置关系的判断 [例1]　(1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　) ＋ A．1　　　　　　　　　 B．1或2 C．2 D．0 [解析]　因为直线过定点(3，－1)且<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点． ＋ [答案]　C (2)已知椭圆C的两焦点为F1(－，0)，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. ，0)，F2( ①求椭圆C的标准方程． ②若已知直线y＝x＋m，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ ③若∠F1PF2＝90°，求△PF1F2的面积． [解析]　①因为椭圆的焦点是F1(－，0)，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， ，0)和F2( 所以设所求的椭圆方程为＝1(a>b>0)， ＋ 所以依题意有c＝)2＝7， ，a＝3，所以b2＝a2－c2＝32－( 所以所求的椭圆方程为＝1. ＋ ②由得16x2＋18mx＋9m2－63＝0， 由Δ＝(18m)2－4×16(9m2－63)≥0得m2≤16，则－4≤m≤4， 所以当m∈[－4,4]时，直线与椭圆C有公共点． ③因为点P是椭圆＝1上一点． ＋ 所以|PF1|＋|PF2|＝6.① 又因为∠F1PF2＝90°， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝8，② 由①②得|PF1|·|PF2|＝14， 所以△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝7. 方法技巧　　　代数法判断直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去