2.2.1　双曲线及其标准方程（课件+作业）2019-2020学年高中数学选修1-1【优化探究】同步导学案（人教版）)

2．2　双曲线 2.2.1　双曲线及其标准方程 内　容　标　准 学　科　素　养 1.掌握双曲线的定义． 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程． 3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 应用直观想象 提升逻辑推理 及数学运算 授课提示：对应学生用书第31页 [基础认识] 知识点一　双曲线的定义 我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．这条曲线是满足下面条件的点的集合： P＝{M||MF1|－|MF2|＝常数}． 如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)．这条曲线是满足下面条件的点的集合： P＝{M||MF2|－|MF1|＝常数}． 这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．　　　 　知识梳理　双曲线的定义： 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 思考　若常数＝|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数>|F1F2|，则满足条件的点是否存在？ 提示：两条射线　不存在 知识点二　双曲线的标准方程 类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？ 提示：建立如图直角坐标系，设M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|＝2c，||MF1|－|MF2||＝2a，　　　 则||＝2a， － 整理得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 令b2＝c2－a2(b>0)， 则b2x2－a2y2＝a2b2， 即＝1(a>0，b>0)——双曲线的标准方程．－ 　知识梳理　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>0，b>0)－ ＝1(a>0，b>0)－ 焦点 F1(－c,0)， F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2 [自我检测] 1．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线　　　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 答案：C 2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A. B. C.，0) D．( 答案：C 授课提示：对应学生用书第31页[来源:Z。xx。k.Com] 探究一　双曲线定义的应用 [教材P54习题2.2A组1题]双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于________． 解析：双曲线4x2－y2＋64＝0可化为＝1， － ∴a＝8.由定义知|PF1|－|PF2|＝16， |PF2|＝±16＋|PF1|，|PF2|＝17或|PF2|＝－15(舍去)． 答案：17 [例1]　(1)若双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) － A．11　　　　　　　　　 B．9 C．5 D．3 (2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48[来源:学_科_网Z_X_X_K] [解析]　(1)由题意得||PF1|－|PF2||＝6， ∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去) 故选B. (2)解得|PF1|＝8，|PF2|＝6. 在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10 ∴△PF1F2为直角三角形，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24. 故选C. [答案]　(1)B　(2)C 方法技巧　1.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)． 2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 跟踪探究　1.已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1、F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60