专题01 集合 集合间的关系 集合的运算（知识精讲）-【精创新教材】2019-2020高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

专题一 集合、集合与集合的关系、集合的运算 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 集 合 集合的概念 元素的三个特性 元素与集合的关系 元素的互异性 集合间的关系 空集是任何集合的子集 集合的运算 集合端点值的取舍 二.学法指导 1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可 以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求． 3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识． 4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． 5.求集合并集的两种基本方法： （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 6.求集合交集的方法为： (1).定义法，(2)数形结合法． （2）．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 三.知识点贯通 知识点1 元素与集合相关概念 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 例1.考察下列每组对象，能构成集合的是(　　) ①中国各地最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④　　　　 B．②③④ C．②③ D．②④ 知识点二 元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. (3)常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 例题2：已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 知识点三 集合间的关系 1.判断集合关系的方法. 1观察法：一一列举观察. 2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 3数形结合法：利用数轴或Venn图. 2.集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 3.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 例题3 .已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________. 知识点四 集合的运算 1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 2．并集的性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B. 3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。 4. 交集的性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A. 5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。 例题4．（1）已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5} （2）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 （3）设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 五 易错点分析 易错一 空集是任何集合的子集 例题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． 易错二 集合中元素的互异性 例题6.若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值． 易错三 忽略端点值的取舍 例题7.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2}