01 值得关注的三类函数零点问题-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年10月 中学生数理化 值得关注的三类函数零点问题 ■王佩其 函数的零点问题,归根到底是研究函 log2ax(x>0)的图像,如图1所示 数的图像与性质问题。一方面要判断函数 的单调性,再借助零点存在性定理来解决; 另一方面将零点问题转化为函数图像的交 点问题,利用数形结合来解决。那么这类 问题一般会出现哪些情形呢?本文分类举 例说明 判断函数零点所在的区间的问题 由图像可知,函数f(x)=2019+ 判断函数零点所在的区间,一般只需利1og20x在x∈(0,+∞)上存在一个零点 用零点存在性定理。 因为∫(x)是定义在R上的奇函数,所以 例1函数f(x)=1n(x-1)+x的零f(x)在x∈(-∞,0)上也有一个零点。又 点所在的大致区间是() f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3。 评析:解答这类问题的关键是善于构造 两个相关的函数,画出它们的图像,确定图像 的交点 解:先判断f(x)的单调性,再利用零点 三、复合函数的零点问题 存在性定理验证即可。易知f(x)是增函数 复合两数的零点问题,就是关于x的方 当x→1时,ln(x-1)→-∞,从而f(x 程g[f(x)]=0的根的个数问题。解答这类 1n22~0。由此可得存在问题分为两个步骤:一是解关于f(x)的方 程,观察有几个∫(x)的值使得等式成立;二 xo∈(1,。),使得f(x0)=0。应选A 是结合f(x)的值求出每个f(x)被几个x对 评析:当零点问题无法计算时,要善于估 应,将x的个数汇总后即为g[f(x)]=0的 根的个数 计函数值的取向,也可举一个具体的函数值 例3关于x的方程(x2-1)2 为负数的例子来说明,如本题中的f(1.1) 2=0的不相同实根的个数为 1.1+1n<0。 函数零点的个数问题 解:将|x2-1视为一个整体,可令 求函数零点的个数问题,一般有两种方x2-1,则原方程可化为t2-3+2=0,由 一是将函数的零点问题,转化为方程的根此解得 或t=2。作出函数t= 的问题,通过直接解方程来得到函数的零点x2-1的图像(图略),然后统计其与t=1 个数;另一种方法是将一个函数分解成两 t=2图像的交点个数,易知共有5个交点 基本函数,利用这两个函数的图像,直观看出故原方程的实根个数为5 图像交点的个数,即为函数的零点个数 评析:复合函数的零点问题可转化为基 例2f(x)是定义在R上的奇函数,且本函数问题,通过作出基本函数的图像,利用 当x∈(0,+∞)时,f(x)=2019+log2o19x 函数的图像来解决问题 则函数f(x)的零点个数是 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 解:作出函数 2019和函数 (责任编辑郭正华)