07 几何体外接球问题的求解策略-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

中学生数理化 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年10月 几何体外骖棼洞题的求解策晚 葛建生 在立体几何问题中,对球的组合体的考 A.12π B.6/2 查,尤其是多面体的外接球问题,是高考的常 考点,也是同学们学习的一个难点。此类问 解:取AB的中点为G,则G为△AEB 题实质上是解决球的半径长度或确定球心的的外心,连接AC,BD,GE。 位置,其中确定球心的位置是关键。下面具 设AC∩BD=O,连接OG,则OG⊥平 体剖析几种确定球心的位置的求解策略,供面AEB。利用勾股定理易知O为四棱锥 同学们学习与参考 E-ABCD外接球的球心,则外接球的半径为 由球的定义确定球心 在空间中,如果一个定点与一个简单多2AC=2。 面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定 故该几何体外接球的表面积为 点就是该简单多面体的外接球的球心。由此(2)2=8。应选D 定义,可以得到确定简单多面体外接球的球 评析:本题主要考查多面体外接球表面 心的如下五个结论。 积的求法,考查数形结合的解题思想方法 结论1:正方体或长方体的外接球的球解答本题的关键是确定外接球的球心位置 心是其体对角线的中点。 例2底面边长为/,侧棱长为2的正 吉论2:正棱柱的外接球的球心是上下 棱锥(底面是正三角形且顶点在底面的 底面中心的连线的中点 影是底面的中心)的外接球的表面积 咭论3:直三棱柱的外接球的球心是上 下底面三角形外心的连线的中点。 结论4:正棱锥的外接球的球心在其高 线上,其具体位置可通过计算找到 结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的 解:由题意画出正三棱锥PABC,如图2 直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接所示 球的球心 例1如图1,在四棱锥 E-ABCD中,正方 形ABCD的边长为2,△ABE是E为直角顶 点的等腰三角形,平面ABE⊥平面ABCD,则 该几何体外接球的表面积为() 图2 正三棱锥PABC的底面边长为/3,设 底面三角形ABC的中心为G,则AG AB2-BD2=1。因为侧棱长 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年10月 中学生数理化 PA=2,所以三棱锥的高PG=/PA2AG B.18丌 ③3。设正三棱锥的外接球的球心为O,连 解:由PA⊥平面ABCD,可得 VeAED 接OA。在Rt△AOG中,OA2=(3-OA) +1,解得O=2 ×PA×S△AED=3×PAX 2×1=1 解得PA=3,而阳马 P-ABCI的外接球的 故外接球的表面积为4xR2=4x×OA2直径是以AD,AB,AP为宽,长,高的长方体 应选A 的体对角线的长,所以(2R)2=AD2+AB AP2=4+4+9=17,即4R2=17。 评析:本题主要考查多面体的外接球表 故阳马 P-ABCD的外接球的表面积为 面积的求法,考查数形结合的解题思想方法 4xR2=17丌。应选A 解答本题的关键是求出外接球的半径 评析:本题的解法为构造法,即构造一个 构造正方体或长方体确定球心 长方体,根据长方体的体对角线长就是球的 长方体或正方体的外接球的球心是体对 直径来求解问题。 角线的中点。以下是常见的、基本的几何体 例4已知四面体ABCD的四个面都为 补成正方体或长方体的途径与方法 直角三角形,且AB⊥平面BCD,AB=BD 途径1:正四面体、三条侧棱两两垂直的CD=2,若该四面体的四个顶点都在球O的 正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥,表面上,则球O的表面积为() 都可构造正方体 B.2/3π 途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂 C.43 的四面体、相对的棱相等的三棱锥,都可构 造长方体或正方体 解:由题意可将四个面都为直角三角形 的四面体放到正方体中,如图4所示。 途径3:已知棱锥含有线面垂直关系,可 将棱锥补成长方体或正方体 途径4:三棱锥的三个侧面两两垂直,可 将三棱锥补成长方体或正方体 例3中国古代数学经典《九章算术》系 统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书 中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直 的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三 角形的三棱锥称之为鳖腸。图3为一个阳马 图 与一个鳖腊的组合体,已知PA⊥平面 据此可知,AB⊥平面BCD,AB=BD ABCE,四边形ABCD为正方形,AD=2 CD=2,所以正方体的体对角线长为 ED=1,若鳖膳PADE的体积为1,则阳马 P-ABCD的外接球的表面积等于( 故球O的半径R ,可得球O的表面 积S=4πR2=12x。应选D。 评析:本题的解法为补形法,这种解法 寻找球心(或直径)省时省力,值得同学们 重视。 作者单位:浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 (责任编辑郭正华) 图 中学生数理化 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年10月 整女 解:因为a>0,所以a2+1>1。画出y= 的 x2-2x|与