08 函数的零点个数的判断方法-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年10 中学生教理化 函数的嬰点个数的判斷方法 ■向正银 ■ 对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x) =0成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈ ①点坪 零点存在性定理成立的 两个条件:一是函数y=f(x) D)的零点。函数的零点个数问题是高考命在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲 题的一个热点,解答这类问题需要与函数的线;二是f(a)·f(b)<0。这两个条件缺 图像与性质相结合求解 不可,如果其中一个条件不成立,那么就不能 方程法 使用该定理。 例1已知分段函数f(x 三、图像法 2-1,x≤1, 例3函数f(x)=2|log5x|-1的零 则函数f(x)的零点 点个数为() 解:令f(x)=2log.x|-1=0,可得 logos.x I 解:当x≤1时,由f 分别设函数y=g(x)=|1og.x和函数 得x=0;当x>1时,由f(x)=2-log2x 0,解得x=4 y=h(x)=/1 在同一平面直角坐标系 故函数f(x)的零点是0和4。应选D 中画出函数y=g(x)与y=h(x)的图像(简 ①点评 对于函数y=f(x),令图),如图1所示。 f(x)=0,若能求出解,则有几 个解就有几个零点。本题是求分段函数的零 点,可分别解指数方程与对数方程得出结果 、定理法 例2设f(x)=x3+bx+c是[-1,1 上的增函数,且f(-2)·f(2)<0,则方 程f(x)=0在[-1,1内( 由图1可知,两个函数图像一定有2个 A.可能有3个实数根 交点,因此函数f(x)有2个零点。应选B。 B.可能有2个实数根 解答本题时,需要把求函 C.有唯一的实数根 点汗 D.没有实数根 零点个数转化为函数g(x)=|log.5x|与 解:由f(x)在[-1,1]上是增函数,且 (-2)·f(2)<0,可知函数f(x)在 2)的图像的交点个数来求解,这 也是转化与化归思想的具体应 2·2上有唯一的零点,所以方程f(x 作者单位:湖北省兴山县第一中学 0在[-1,1上有唯一的实数根。应选C。 (责任编辑郭正华)