09 函数的零点在解题中的应用-2019年10月刊高一数学《中学生数理化》

中学生数理化 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年10月 函戬的雪点任题中的应用 ■陈竹林 如果函数y=f(x)在x=a处的函数值 提示:设函数g(x)=-3x2+7x+6 等于零,即f(a)=0,则称a为函数y=f(x) 令g(x)=-3x2+7x+6=0,解得x 的零点,也即两数y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0的根。因此函数的零点把函数与方 程紧密地联系在一起。函数的零点,不仅体 因为一<0<3,g(0)=6>0,所以当 现了方程与函数之间的转换,也展现了数形 结合的思想方法,且已成为高考命题的一个 新亮点。下面归纳总结函数的零点在解题中 的应用 故原不等式的解集为{x 利用函数的零点解不等式 利用函数的零点求其他函数的零点 例1二次函数y=ax2+bx+c的部分 例2若函数f(x)=ax+b有一个零 对应值如表 点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是 101234 C.0 则不等式ax2+bx+c>0的解集是 解:由已知可得b=-2a,所以g(x) 解:由表中数据可知函数的两个零点分 别为-2和3,这两个零点将其余实数分为三解得x1=0,x2 应选 个区间:(-∞,-2),(-2,3),(3,+∞)。在 区间(一∞-2)中取特殊值一3由于(3)①点淠 数y=f(x)的零点就 是方程f(x)=0的根,由此 6>0,因此根据二次函数变号零点的性质得到b=-2a是解题的关键。 可得,当x∈(-∞,-2)时,都有f(x)>0 练习2:设x。为函数f(x)=sinx的零 当x∈(-2,3)时,都有f(x)<0;当x∈(3, )时,都有f(x)>0。故所求不等式的解 点,且满足{x|+/(x+2)<3,则这样的 集为(-∞,-2)∪(3,+∞ 零点有()。 二次函数的图像是连续 的,当它通过零点(不是二重 C.65个 D.67个 零点)时,函数值变号,并且在任意两个相邻 提示:依题意可知f(x。)= sIn 7t.o=0 的变号零点之间函数值保持同号,根据二次 得xx0=kπ,k∈Z,即x=k,k∈Z。当k 函数变号零点的这一性质,可以求解一元 是奇数时,f(x+2)=sn(kx+2) 次不等式。 练习1:解不等式:-3x2+7x+6 所以|x|+f(x+)=1k1-1<3,即|k 知识篇·知识结构与拓展 高一使用2019年10月 中学生数理化 34,满足这样条件的奇数k共有34个。当于x的一元二次函数,令14 k是偶数时,f 0,可得y=f(t) =t2-8t+b,画出函数 所以 f(t)的图像,如图2所 k<32,满足这样条件的偶数k共有31个 通过观察图像,可得 综上所述,满足题意的零点共有34+31 ∫f(0)≥0 图2 解得0≤ f(4)< 三、已知方程的根或函数的零点求参数16,即实数b的取值范围是[0,16 的取值范围 四、利用函数的零点与方程根的关系,求 例 已知函数 (x) 参数的值(或范围) 1x|,x≤m, 例4已知关于x的方程3x2-5x+ 其中m>0。若存在实 a=0的两根x1,x2满足x1∈(-2,0),x2∈ 数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不(1,3),求实数a的取值范围 同的根,求m的取值范围 解:依题意可知关于x的方程3x2 解:画出函数f(x)与y=b的图像,如图5x+a=0的两根x,x满足x1∈(-2,0), 1所示 x2∈(1,3),即函数f(x)=3x2-5x+a的两 个零点 满足x1∈( 3),所以结合二次函数f(x)=3x2-5x+a f(0)<0, 的图像可得 由此代入解得-12 f(1)<0, (3)>0, 当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2<a≤0。故实数a的取值范围为(-12 m-m2,要使方程f(x)=b有三个不同 的根,则4m-m2<m,即m2-3m>0,可得 点评 由于函数y=f(x)的零 点就是方程f(x)=0的根, m>3或m<0。又m>0,故m>3。 所以在研究方程的有关问题,如比较方程根 Q点评 已知函数有零点(方程有的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性 根)求参数的取值范围有三种 等时,都可以将方程问题转化为函数问题,借 常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件助函数的零点,结合函数的图像加以解决 构建关于参数的不等式,再通过解不等式确 练习4:若函数f(x)=2ax2-x-1在 定参数的取值范围。(2)分离参数法:先将参区间(0,1)内恰有一个零点,则a的取值范围 数分离,转化成求函数的值域问题加以解决。是 (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平 提示:显然,a≠0。当函数f(x)有两个 面直角坐标系中,画出函数的图像,然后利用 a>0 零点时,可得 f(0)f(1)< 解得 数形结合法求解 x+b有两个不相